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Mengenbeweis (М∩N) ∪ (MΔN) = M∪N erklären?

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Sonstiges

Tags: Beweis, Mengenlehre, Sonstig

0987654321 aktiv_icon

20:24 Uhr, 25.10.2016

Guten Abend, ich komm mit einer Gleichung nicht weiter und die lautet:

(M

∩

N)

∪

(M

⊕

N) = M

∪

N

Ich soll beweisen, dass diese Gleichung für beliebige Menge

M

und

N

gilt.
bis jetzt habe ich:

(M

∩

N)

∪

(M

⊕

N) = M

∪

N

beweis durch gleichheit:

(M

∩

N)

∪

(M

⊕ N)⊇

M

∪

N

(M

∩

N)

∪

(M

⊕ N)⊆

M

∪

N

gegeben ist, das

x

∈

(M

∩

N)

∪

(M

⊕

N)

somit

\to x

∈

(M

∩

N)

∧

x

∈

(M

⊕

N)

fall 1. definition der vereinigung:

x

∈

M

∧

x

∈

N - \to x

∈

M

∩

N

so das wars auch schon, ich komme einfach nicht weiter. Ich würde mich freuen, wenn ihr helfen könntet :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Mengenlehre

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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20:59 Uhr, 25.10.2016

" fall 1. definition der vereinigung:

x \in M \land x \in N \to x \in M \cap N

\to

meinst sicher den Schnitt
Fangen wir mit der Richtung an :

(M \cap N) \cup (M \oplus N) \supseteq M \cup N

sei

x

beliebig mit

x \in M \cup N

Dann betrachten wir 3 Fälle

1 . \to x \in ...

. aber nicht in

. .

2 . \to x \in . .

. aber nicht in ....(die andere Möglichkeit)

3 . \to

oder

x \in ...

. und

x \in . .

.

aus 3. folgt

x \in . .

\cap ...

\Rightarrow x \in (M \cap N) \cup (M \oplus N)

\to (M \oplus N) = (M \ N) \cup (N \ M)

\Rightarrow x \in (...

\oplus . .

) \Rightarrow x \in (M \oplus N) \Rightarrow x \in (M \cap N) \cup (M \oplus N)

\Rightarrow x \in (. .

\oplus ... .) \Rightarrow x \in (M \oplus N) \Rightarrow x \in (M \cap N) \cup (M \oplus N)

0987654321 aktiv_icon

21:29 Uhr, 25.10.2016

also ich habe verstanden ich verwende buchstaben für die verschiedenen symbole da ich momentan entweder zu blöd für das schreiben der symbole bin oder es einfach nicht will. für "enthalten" benutze ich das kleine "e" und für "nicht enthalten das große "E" und "^" für und. Der rest erklärt sich denke ich mal von alleine.

1.

x e M^{x} e N (v x E N)

\to (x e M^{x} e N) v (x e M^{x} e N)

\to x e M n N v x e (M N)

0987654321 aktiv_icon

21:30 Uhr, 25.10.2016

x e M^{x} e N (v x E N)

\to (x e M^{x} e N) v (x e M^{x} e N)

\to x e M n N v x e (M N)

Apilex aktiv_icon

22:08 Uhr, 25.10.2016

falls du das meinst (schau mal in das vorschau Fenster da siest du was den anderen angezeigt wird

\to

wo dein ^ ist kann man nur raten) :

1 . \to x \in M \land x \notin N

2 . \to x \in N \land x \notin M

\to x \in M \land x \in N

dann ja

aber wie gehts weiter und verstehst du meine Schlussfolgerungen?

0987654321 aktiv_icon

22:53 Uhr, 25.10.2016

Also ich hatte das jetzt so geschrieben aber ich denke es kommt auf das selbe hinaus, aber die Schlussfolgerung habe ich nicht ganz verstanden also den nächsten Schritt. Dass die Symbolen am Ende anders aussehen war mich nicht bewusst, tut mir leid und danke dass sie mich darauf aufmerksam gemacht haben.
*korrektur bei der zweiten Reihe soll das am Ende

x

(NICHT enthalten)

N

sein :-)

Apilex aktiv_icon

23:20 Uhr, 25.10.2016

Leider ist das nicht das selbe :

(x \in M \land x \in N) \lor (x \notin N) \neq x \in M \land x \notin N

x \in M \land x \in N) \lor (x \notin N) \neq (x \in M \land x \in N) \lor (x \in M \land x \in N) = (x \in M \land x \in N) (

Nach deiner Korektur hast du die Fälle 1 und 3 einfach in einen gepackt geht aber auch denn aus

x \in ((M \cap N) \cup (M \ N) \Rightarrow x \in (M \oplus N) \cup (M \cap N))

wenn

a \in M \land a \in N

dann folgt

a \in M \cap N

für beliebige

a | I

außerdem gilt auch wen

a \in M

oder

a \in N

dann folgt

a \in M \cup N

für beliebige

a |

II
nach 3. und I gilt

x \in M \cap N \Rightarrow x \in (M \oplus N) \cup (M \cap N)

danach sind mir leider grobe Kopie-past Fehler unterlaufen

statt zweimal aus "1.=>......" soll dort stehen :

1.

\Rightarrow x \in (... . \ ...) \Rightarrow x \in (M \oplus N) \Rightarrow

\Rightarrow x \in (... \ ... .) \Rightarrow x \in (M \oplus N) \Rightarrow

(kann man auch nicht verstehen wenn ich was sinloses aufschreibe)

0987654321 aktiv_icon

14:42 Uhr, 26.10.2016

Also ich habe das bis jetzt so weit geschafft, ob es jetzt aber stimmt bin ich mir nicht ganz sicher.

Apilex aktiv_icon

15:45 Uhr, 26.10.2016

1)

der Einschub

(M \oplus N) = (M \ N) \cup (N \ M)

ist nur die Definition von

(M \oplus N)

also keine Folgerung sondern nur wichtig damit die Folgerung

: x \in (N \ M) \Rightarrow x \in (M \oplus N)

verständlich ist.
sonst stimmt die erste Richtung

2)

Das was du machst ist richtig nur nicht richtig aufgeschrieben (das Problem bei deiner Varrainte ist das das

x

das du für die definition von der vereiigung verwendest janicht das selbe

x

sein muss wie das was in

(M \cap N) \cup (M \oplus N)

den das musst du ja erst noch zeigen) : Der Beweis sollte etwa so ausehen

x \in (M \cap N) \cup (M \oplus N)

\Rightarrow x \in (M \cap N) \cup (M \ N) \cup (N \ M)

x \in (M \cap N) \lor x \in (M \ N) \lor x \in (N \ M)

Fall

1 \to x \in (M \cap N) \Rightarrow x \in M \Rightarrow x \in M \cup N

Fall

2 \to x \in (M \ N) \Rightarrow x \in M \Rightarrow x \in M \cup N

Fall

3 \to x \in (N \ M) \Rightarrow x \in N \Rightarrow x \in M \cup N

\Rightarrow

da für jeden Fall

x \in x \in M \cup N

gilt

\Rightarrow (M \cap N) \cup (M \oplus N) \subseteq M \cup N

0987654321 aktiv_icon

16:07 Uhr, 26.10.2016

also ich denke, ich habe es endlich verstanden, also danke danke danke vielmals, dass Sie sich die Zeit und Mühe genommen haben, mir alles so verständlich wie möglich beizubringen!

0987654321 aktiv_icon

16:07 Uhr, 26.10.2016

also ich denke, ich habe es endlich verstanden, also danke danke danke vielmals, dass Sie sich die Zeit und Mühe genommen haben, mir alles so verständlich wie möglich beizubringen!

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