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Minimales Erzeugendensystem von V => Basis von V

Universität / Fachhochschule

Lineare Unabhängigkeit

Vektorräume

Tags: Lineare Unabhängigkeit, Vektorraum

Julian93 aktiv_icon

16:25 Uhr, 25.02.2016

Hallo,

ich habe eine Frage zu der folgenden Beweisskizze:

Es sei

V

ein K-Vektorraum, v1,...,vm sei eine Familie von Vektoren in V. Dann gilt:

v1,...,vm ist ein minimales Erzeugendensystem von V.

\Rightarrow

v1,...,vm ist eine Basis von V.

Es ist zu zeigen, dass v1,...,vm linear unabhängig ist.

Angenommen, v1,...,vm sei linear abhängig. Dann existierte eine Darstellung für ein beliebiges vi aus der Familie v1,...,vm durch

vi

= s 1 \cdot v 1 + . .

+

(si-1)

\cdot

vi-1

+

si+1

\cdot

vi+1

+ . .

+

sm*vm.

Dann lässt sich allerdings jeder Vektor aus

V

als Linearkombination der übrigen Familie darstellen und v1,...,vm wäre kein minimales Erzeugendensystem mehr, was der Prämisse widerspräche.

Frage:

Was versichert mir, dass sich tatsächlich jeder Vektor auf Grundlage der übrigen Familie darstellen lassen müsste, wenn vi durch die übrige Familie darstellbar ist?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

ledum aktiv_icon

16:43 Uhr, 25.02.2016

Hallo
da die

v_{i}

ja ein Erzeugendensystem bilden, man also jeden Vektor aus

v \in V

daraus darstellen kann als

v = \sum_{k = 1}^{n} r_{k} \cdot v_{k}

kannst du ja jetzt

v_{i}

durch die restlichen ersetzen und hast wieder

v

Gruss ledum

Julian93 aktiv_icon

17:05 Uhr, 25.02.2016

Hi,

vielen Dank für deine Antwort!

Leider ist mir der Zusammenhang noch nicht wirklich klar. Was genau meinst du mit "ersetzen"? Könntest du hier etwas detaillierter werden?

Vielen Dank im Voraus! :-)

ledum aktiv_icon

18:00 Uhr, 25.02.2016

Halo
sei

v_{i} = \sum_{l \neq i}^{n} s_{i} \cdot v_{l}

und ich weiss

v = \sum_{k = 1}^{n} r_{k} \cdot v_{k} = \sum_{k = 1, k \neq i}^{n} r_{k} \cdot v_{k} + r_{i} \cdot v_{i} = \sum_{k = 1, k \neq i}^{n}

r_kv_k

+ r_{i} \cdot \sum_{l \neq i}^{n} s_{i} \cdot v_{l}

zusammengefasst mit

c_{k} = r_{k} + r_{i} \cdot s_{k}

hast du dann Wieder eine Summe ohne das

v_{i}

Gruß ledum

Julian93 aktiv_icon

18:50 Uhr, 25.02.2016

Ich habe das jetzt einmal komplett zu Papier gebracht. Siehst du hier irgendwo argumentative Mängel oder passt das alles?

ledum aktiv_icon

20:33 Uhr, 25.02.2016

Hallo
1. kannst du die neuen

s_{l}

angeben, und in 2 verschiedenen Gl nicht dieslben Buchstaben verwenden statt

s_{l} z - B d' : L

oder

S_{L}

oder

...

. 2. genauer die Vors hinschreiben_ Erzeugendensystem heisst;...
des hal

v =

minimale ES heisst

...

.
Baisis hat man wenn...
deshalb muss man zeigen.
die einzelnen Punkt sollten da stehen, sonst würdest du den Beweis doch auch nicht verstehen wenn du ihn nicht selbst gemacht hättest.
Also versetz dich in dein Zustand vor dem Beweis, frag den Beweisenden an jeder Stelle warum.
als verkürzter Beweis ist alles sonst ok.
Gruß ledum

Julian93 aktiv_icon

13:39 Uhr, 28.02.2016

Danke!

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