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Nicht-Konvergenz einer rekursiven Folge

Universität / Fachhochschule

17:02 Uhr, 20.05.2024

Wir betrachten die Funktion

f (x) = | x

−

1 | + | x + 1 |

.
Zeichnen Sie die Funktion

f

. Weiterhin sei eine rekursive Folge (x_n)n∈N gegeben durch

x_{0} = 2,

x_(n+1)=−x_n+(−1)^n

\cdot \frac{1}{2^{n + 1}}

Zeigen Sie, dass die Folge

x_{n}

nicht konvergiert, aber genau einen Limes Superior und Limes Inferior besitzt. Skizzieren Sie sich diesen Verlauf in die Skizze für die Funktion

f

ein. Zeigen Sie, dass

f (x_{n}) = : f_{n}

eine konvergente reelle Zahlenfolge definiert.

Ich weiß nicht, wie ich zeigen kann, dass diese Folge nicht konvergiert.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

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17:19 Uhr, 20.05.2024

Man kann z.B. eine explizite Formel für die Folge

x_{n}

aufstellen: Mit Ansatz

x_{n} = a \cdot {(- 1)}^{n} + b \cdot {(- \frac{1}{2})}^{n}

folgt eingesetzt in die Iterationsgleichung

a \cdot {(- 1)}^{n + 1} + b \cdot {(- \frac{1}{2})}^{n + 1} = - a \cdot {(- 1)}^{n} - b \cdot {(- \frac{1}{2})}^{n} + \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{n}

- \frac{b}{2} = - b + \frac{1}{2}

b = 1

.

Nun noch den Anfangswert nutzend:

x_{0} = a + b = a + 1 = 2

ergibt

a = 1

, insgesamt demnach

x_{n} = {(- 1)}^{n} + {(- \frac{1}{2})}^{n}

18:33 Uhr, 20.05.2024

Ich verstehe nicht ganz, wie man auf das

- b \cdot {(- \frac{1}{2})}^{n} + \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}

und die Zeile danach kommt, weil ich konnte es nur bis

- b \cdot {(\frac{1}{2})}^{n} \cdot \frac{1}{2}

umformen.

00:08 Uhr, 21.05.2024

Das ist doch einfach die Rekursionsformel eingesetzt?
ledum

03:06 Uhr, 21.05.2024

Quantitativer Ansatz durch wiederholtes Einsetzen:

x_{n + 1} = - x_{n} + {(- 1)}^{n} \frac{1}{2^{n + 1}},

x_{n + 1} = x_{n - 1} - {(- 1)}^{n - 1} \frac{1}{2^{n}} + {(- 1)}^{n} \frac{1}{2^{n + 1}}

= x_{n - 1} + {(- 1)}^{n} \frac{1}{2^{n}} + {(- 1)}^{n} \frac{1}{2^{n + 1}},

x_{n + 1} = - x_{n - 2} + {(- 1)}^{n - 2} \frac{1}{2^{n - 1}} + {(- 1)}^{n} \frac{1}{2^{n}} + {(- 1)}^{n} \frac{1}{2^{n + 1}}

= - x_{n - 2} + {(- 1)}^{n} \frac{1}{2^{n - 1}} + {(- 1)}^{n} \frac{1}{2^{n}} + {(- 1)}^{n} \frac{1}{2^{n + 1}},

usw...

Man findet also

x_{n} = {(- 1)}^{n - m} x_{m} + {(- 1)}^{n - 1} \sum_{k = m + 1}^{n} \frac{1}{2^{n}}

für

0 \leq m < n

. Mit

m = 0

ergibt sich dann

x_{n} = 2 {(- 1)}^{n} + {(- 1)}^{n - 1} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{2^{n}}

= 2 {(- 1)}^{n} + {(- 1)}^{n - 1} (\frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{n + 1}}{1 - \frac{1}{2}} - 1)

= 2 {(- 1)}^{n} + {(- 1)}^{n - 1} (1 - {(\frac{1}{2})}^{n})

= (2 - 1) {(- 1)}^{n} - {(- 1)}^{n - 1} {(\frac{1}{2})}^{n}

= {(- 1)}^{n} + {(- \frac{1}{2})}^{n}

.

Die so gefundene Formel sollte der mathematischen Strenge wegen

nun noch induktiv bewiesen werden .

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