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Nullstellen Schreibweise

Schüler

Tags: Verständnisfrage

Christian- aktiv_icon

09:46 Uhr, 25.07.2016

Moin,

3 x^{2} - 3 = 0

x = \pm 1

Dies wären die Nullstellen.
Wie schreibt man das auf ? So?

N_{1} (1 | 0)

N_{2} (- 1 | 0)

Steht also die

1,

für den Wert, der herausgekommen ist, und Null, dass dann dafür die Null herauskommt?

- - - - - - - - - - - - - - - -

Wie ist es dann mit zwei Veränderlicher in einer Funktion?

f (x_{1}, x_{2}) = sin (x_{1}) \cdot sin (x_{2})

Wie wäre hier die Schreibweise für die Nullstellen?

So?

N (180 | 180)

?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

supporter aktiv_icon

09:58 Uhr, 25.07.2016

N_{1} (0 + k \cdot π / 0), k \in ℤ

N_{2} (π + k \cdot π / 0), k \in ℤ

Du musst die Winkel im Bogenmaß angeben, Periode nicht vergessen.

abakus

10:19 Uhr, 25.07.2016

Hallo Christian,
eine Nullstelle in der Form (1|0) anzugeben ist grundsätzlich falsch.
Es muss ganz klar unterschieden werden zwischen "Nullstelle" (das ist einfach nur eine Zahl wie z.B.

x_{1} = 1

) und "Schnittpunkt mit der x-Achse" (das ist ein Punkt, der selbstverständlich wie ein Punkt mit zwei Koordinaten geschrieben werden muss).

Roman-22

10:21 Uhr, 25.07.2016

3 x^{2} - 3 = 0

ist eine Gleichung und diese hat Lösungen, aber keine Nullstellen.

Die Funktion

f (x) = 3 x^{2} - 3

hingegen hat die Nullstellen

x_{1} = - 1

und

x_{2} = 1

.

Eine Stelle ist in diesem Zusammenhang nur ein Abszissenwert, kein Punkt auf dem Graphen der Funktion. Die Punkte

N_{1}

und

N_{2}

könnte man Nullpunkte nennen und die Null an zweiter Stelle ist eben der Funktionswert an den Nullstellen. Allerdings wird mit "Nullpunkt" gelegentlich auch der Ursprung bezeichnet (entsprechend dem "Nullpunkt" einer Skala).

In deinem zweiten Beispiel ist es falsch

180

zu schreiben, wenn du 180° meinst. Sinnvoller wäre es ohnedies, das Bogenmaß zu verwenden.
Hier ist also zB

(π / π)

eine von vielen Nullstellen der Funktion,

(π / π / 0)

wäre ein Nullpunkt.

Sehr oft wird allerdings, auch in der Literatur, die Unterscheidung nicht so streng genommen und unter Nullstelle ein Punkt auf dem Funktionsgraphen verstanden.

R

Christian- aktiv_icon

11:32 Uhr, 25.07.2016

Hmm, alles klar, danke für eure Hilfe.
Ich frage das deswegen, weil ich jetzt eine Aufgabe gemacht habe, wo ich eine Funktion auf lokale Extrema prüfen sollte. Und da hat mich das bisschen mit den Nullstellen irritiert. Ja, der Bogenmaß wäre angebrachter, stimmt schon .

Ich habe halt bei

N (90 | 90)

bzw.

(\frac{1}{2} π | \frac{1}{2} π)

eben ein lokales Maximum, da beide Eigenwerte negativ sind.

Soll ich jetzt ein neues Thread dazu eröffnen?

Roman-22

12:07 Uhr, 25.07.2016

>

Soll ich jetzt ein neues Thread dazu eröffnen?
Zu welchem Thema/welcher Frage?

Die Stellen, an denen der Gradient Null ist, sind übrigens keine Nullstellen der Funktion, denn der Funktionswert ist an diesen Stellen ja nicht Null. Man nennt sie meist kritische Stellen/Punkte. Wenn es lokale Extrema gibt, dann dort - das verschwinden des Gradienten ist eine notwendige Bedingung für relative Extrema. Aber es ist eben keine hinreichende Bedingung, weswegen man diese Stellen dann noch weiter untersuchen muss, zB mit der Hesse-Matrix.

Und wieder: Wenn du 90° meinst, dann musst du auch das Gradzeichen schreiben, sonst ist es falsch. Aber da ja durch die Angabe das Bogenmaß bereits vorgegeben ist, frage ich mich, wieso du mit Gewalt das Gradmaß ins Spiel bringen möchtest.

Bei den Nullstellen von Sinus und Kosinus schreibst du

{(- π; π)}^{2}

. Warum das Quadrat? Das ist falsch und gehört hier weg.
Diese Produktmenge

{(- π; π)}^{2}

steht in der Angabe, weil es sich hier um eine Abbildung aus dem

ℝ^{2}

in den

ℝ

handelt, bei der sowohl die

x_{1},

als auch die

x_{2}

Werte auf das beidseits offenen Intervall der Zahlen zwischen

- π

und

π

beschränkt werden. Es ist also nur eine Abkürzung für

(- π; π) \times (- π; π),

also eine Menge von Zahlenpaaren.
Eingeschränkt auf diesen Bereich hat die Funktion zwei lokale Minima und zwei lokale Maxima (siehe Anhang).

R

Christian- aktiv_icon

12:28 Uhr, 25.07.2016

Okey danke. Stimmt denn sonst mein Ergebnis.Siehe Bildmaterial

Roman-22

12:37 Uhr, 25.07.2016

Siehe mein Bild!
Es gibt vier Lösungen. Du hast nur eine davon angegeben. Und ja,

(\frac{π}{2} / \frac{π}{2} / 1)

ist ein Hochpunkt.
Und auch

(0 / 0)

ist eine kritische Stelle, die untersucht werden muss. Allerdings ist der zugehörige Punkt ein Sattelpunkt.

Die Lösungen

\pm π

bei sin gehören nicht mehr dazu, weil die Funktion ja auf das beidseits OFFENE Intevall

(- π; π)

beschränkt ist. Da gehören die Grenzen im Gegensatz zu

[- π; π]

nicht mehr dazu.

Ich habe das Gefühl, dass du beim Nullsetzen des Gradienten da Ganze nicht wirklich systematisch betrachtet und als Gleichungssystem gelöst hast. Das sollte man machen, auch wenn die kritischen Punkte hier mit freiem Auge erkennbar sind.

R

Christian- aktiv_icon

13:33 Uhr, 25.07.2016

Moin,

sehr gut, ich habe es nun verstanden. Ich muss also diese 4 Stellen untersuchen, wobei ich eine untersucht habe.
Du hast mir das sehr gut erklärt, und diese Grafiken haben mir gut geholfen. Vielen dank Roman. Super! Danke dir auch Gast und supporter. Gut geholfen!

Roman-22

14:06 Uhr, 25.07.2016

Nicht ganz. Du musst insgesamt fünf Stellen untersuchen, aber nur vier davon stellen sich als Extrema heraus. Die Stelle

(0 / 0)

führt zu einem Sattelpunkt, also ein Punkt, in dem die Tangentialebene zwar horizontal ist, in dessen Umgebung es aber sowohl höhere, als auch niedrigere Punkte gibt - wie eben bei einem Reitsattel oder einem Bergsattel. Siehe beigefügte Grafik.

Die vorhin angesprochene systematische Vorgehensweise im Detail (ich verwende nun

x, y, z

anstelle von

x_{1}, x_{2}, x_{3}) :

Suchen wir uns eine der beiden Gleichungen aus, zB

f_{x} (x, y) = 0

. Also

cos x \cdot sin y = 0

. Diese liefert im gegebenen Bereich die drei Lösungen

1) x_{1} = \frac{π}{2}

2) x_{2} = - \frac{π}{2}

und

3) y_{3} = 0

Jede dieser drei Werte muss nun in die zweite Gleichung

f_{y} (x, y) = sin x \cdot cos y = 0

eingesetzt werden, um die jeweils fehlende Koordinate(n) zu bestimmen.
Also systematisch der Reihe nach:

1) x_{1} = \frac{p}{2} \to sin (\frac{π}{2}) \cdot cos y = 0 \Rightarrow y_{1_{1}} = \frac{π}{2}

und

y_{1_{2}} = - \frac{π}{2}

Damit haben wir bereits zwei mögliche Kandidaten (kritische Stellen) für relative Extrema, nämlich

K_{1} (\frac{π}{2} / \frac{π}{2})

und

K_{2} (\frac{π}{2} / - \frac{π}{2})

2) x_{2} = - \frac{π}{2} \to sin (- \frac{π}{2}) \cdot cos y = 0 \Rightarrow y_{2_{1}} = \frac{π}{2}

und

y_{2_{2}} = - \frac{π}{2}

Damit haben wir weitere zwei mögliche Kandidaten (kritische Stellen) für relative Extrema, nämlich

K_{3} (- \frac{π}{2} / \frac{π}{2})

und

K_{4} (- \frac{π}{2} / - \frac{π}{2})

3) y_{3} = 0 \to sin (x) \cdot cos 0 = 0 \Rightarrow x_{3} = 0

und das liefert nun die fünfte kritische Stelle

K_{5} (0 / 0)

Und jetzt muss eben jede der fünf Stellen getrennt weiter untersucht werden.

R

Christian- aktiv_icon

16:12 Uhr, 25.07.2016

Okey danke, ich denke noch mal darüber nach.

Christian- aktiv_icon

18:56 Uhr, 25.07.2016

Ich hake mal ab.

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