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Ortskurven und Kurvenscharen berechnen

Schüler Gesamtschule, 13. Klassenstufe

Tags: Extrempunkt, Kurvenschar, Ortskurve, Wendepunkt

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11:51 Uhr, 15.03.2015

Liebe Community,

ich stehe vor folgendem Problem:

Ich lag auf Grund einer fiesen Grippe die letzten beiden Wochen krank im Bett.
Wie ich nun eben erfahren habe, werden wir morgen in Mathe einen wichtigen Test schreiben, der als Hauptkriterium die Halbjahresnote bestimmen wird.

(13

. Klasse, 2 Monate vor dem Abi :-) )

Nur habe ich leider nichts von dem Unterrichtsstoff der vergangenen Tage mitbekommen, so dass ich keine Ahnung von dem jetzigen Thema habe, da wir dies vorher noch nicht hatten.

Es geht um Ortskurven und Kurvenscharen - Ich habe schon den Morgen mit google und Erklärvideos verbracht, bin aber leider nicht wirklich viel schlauer. Ich habe nun eine Musteraufgabe von einem Mitschüler bekommen, die wohl in der Form in dem Test dran kommen wird.

Aufgabe

Gegeben ist die Funktionenschar

f (k) = {(e^{x} - k)}^{2}

mit

k > 0

1)

Zeichnen Sie den Graphen für

k = 1

und

a = 2

2)

Untersuchen Sie die Schar allgemein auf Schnittpunkte mit den Achsen, Extrempunkten und Wendepunkte

3)

Bestimmen Sie eine Ortslinie für alle Wendepunkte des Graphen

f (k)

Nun, Kurvendiskussionen sind mir geläufig. Allerdings habe ich zu jeder Aufgabe Fragen...

Was ist bei Aufgabe 1 mit

a = 2

gemeint? Woher kommt das a und was hat es zu bedeuten?

Wie unterscheidet sich eine Untersuchen einer einfachen Funktion von einer Kurvenschar? Rechne ich einfach mit einer weiteren Variablen

(\in

diesem Fall

k)

und das Ergebnis ist dann irgendetwas mit

k

?

Wie ich bisher herausgefunden habe, ist die Ortslinie eine Linie, die durch alle Wendepunkte des Graphen geht. Wie stelle ich diese auf bzw. bestimme ich sie?

Würde mich über jede Antwort sehr freuen, auch wenn sie ggf. nur Teile meiner Fragen beantwortet!

Vielen vielen Dank und einen schönen Sonntag!

LG Tom

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktionenschar (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Krümmungsverhalten
Wendepunkte

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Respon

12:06 Uhr, 15.03.2015

f (k) = {(e^{x} - k)}^{2}

k > 0

???
Vermutlich meinst du:

f_{k} (x) = {(e^{x} - k)}^{2}

. .

. und was ist mit dem a?

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12:24 Uhr, 15.03.2015

Ohja, natürlich meine ich

f k (x) = {(e^{x} - k)}^{2}

Ja, dass mit dem a frage ich mich auch. Das kommt nirgendwo vor, wird aber bei der Aufgabenstellung genannt..

Respon

12:26 Uhr, 15.03.2015

Dann lassen wir das a vorerst.
Wie weit bist du schon bei

2)

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12:39 Uhr, 15.03.2015

Ich habe folgende Ableitungen aufgestellt, bin mir aber gerade ziemlich unsicher...

f (x) = {(e^{x} - k)}^{2}

f' (x) = 2 e^{x} \cdot (e^{x} - k)

f'' (x) = 2 e^{2} x + 2 e^{x} \cdot (e^{x} - k)

Wenn die richtig sind, würde ich dann damit die gesuchten Punkte ausrechnen.

Respon

12:43 Uhr, 15.03.2015

Überprüfe nochmals

f'' (x)

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12:51 Uhr, 15.03.2015

Hmm, ich komme leider nicht drauf. Magst du mir einmal helfen? Danke!

Respon

12:55 Uhr, 15.03.2015

Vermutlich nur ein Eingabefehler. Mache um den Exponenten eine Klammer
Nicht

2 \cdot e^{2} \cdot x + 2 \cdot e^{x} \cdot (e^{x} - k),

sondern

2 \cdot e^{2 \cdot x} + 2 \cdot e^{x} (e^{x} - k)

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13:02 Uhr, 15.03.2015

Ah, perfekt! Vielen Dank.

Ich habe jetzt wohl auch rausgefunden, was mit

a = 2

gemeint ist. Ich soll zwei Graphen zeichnen, einmal mit

k = 1

und den zweiten mit

a = 2,

wobei a im zweiten Fall einfach

k

ersetzt. Sprich einen Graphen mit

k = 1

und einen Graphen mit

k = 2

Ich habe bisher allerdings noch nie mit einer Funktion mit zwei Variablen gerechnet... (als Nebeninfo - Ich schreibe Mathe nicht im Abitur und das wird dementsprechend mein letzter Mathetest den ich in meiner Schullaufbahn schreiben werde.. ;-) )

Ich habe einfach schonmal mit dem SP der y-Achse angefangen
(für

x = 0

einsetzten)

= {(e^{0} - k)}^{2}

aus

e^{0}

wird

1,

was aber passiert mit dem k?

Vielen Dank für deine Zeit und die Hilfe!

Respon

13:05 Uhr, 15.03.2015

"Untersuchen Sie die Schar ALLGEMEIN auf Schnittpunkte mit den Achsen, Extrempunkten und Wendepunkte"
Der Parametr

k

bleibt im Ergebnis vorerst stehen.
Also

S_{1} (0 | {(1 - k)}^{2})

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13:08 Uhr, 15.03.2015

Perfekt - hatte mir sowas schon gedacht,war mir aber nicht sicher, ob das

k

in der Lösung einfach so stehen bleibt.
Ich denke, dass ich dann die Punkte und Stellen alle ausrechnen kann - werde ich zumindest gleich einmal tun.

Zur Ortslinie:

Ich gehe einfach mal davon aus, dass es eine Linie ist, die durch die Wendepunkte aller Graphen geht. Sprich ich muss als Lösung eine Lineare-Funktionsgleichung angeben. Wie kann ich diese bestimmen?

PS: Ich benötige noch die dritte Ableitung... Und ich verzweifle gerade an dem Kombinieren der verschiedenen Ableitungsregeln - das war leider noch nie meine Stärke

. .

Respon

13:14 Uhr, 15.03.2015

Das mit der Ortlinie ist nicht gaz so einfach.
Man bekommt für die Koordinaten des Wendepunktes Terme mit

k

.
Also

x_{W} = T_{1} (k)

y_{W} = T_{2} (k)

Eliminiert man nun

k,

so erhält man eine Beziehung zwischen

x

und

y (

ob linear läßt sich vorerst nicht sagen )

Respon

13:17 Uhr, 15.03.2015

Die 3. Ableitung hebe dir für später auf.

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13:29 Uhr, 15.03.2015

Alles klar :-)

Vielen, vielen Dank schonmal.

Ich werde jetzt einfach mal soweit rechnen, wie ich komme und meine Lösungen dann hier posten, wenn das ok ist.

Einen schönen Tag dir auf jeden Fall schonmal und nochmal vielen Dank!

Respon

13:33 Uhr, 15.03.2015

So sei es !

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15:23 Uhr, 15.03.2015

So. Ich denke, bisher lief es ganz gut.

Ich habe folgendes raus:

SP mit y-Achse:

(0 | {(1 - k)}^{2})

SP miit x-Achse (NST):

ln (k)

ExP:

(ln (k) | 0)

Bei den WP komme ich gerade leider nicht weiter. Auch schaffe ich es nicht, die 3. Ableitung zu bilden.. Magst du mir da noch einmal helfen?
Die 2. Ableitung ist übrigens

f'' (x) = 2 e^{x} \cdot (2 e^{x} - k)

Vielen Dank schonmal - den Rest hab ich dank deiner Hilfe hinbekommen!

Femat aktiv_icon

21:41 Uhr, 15.03.2015

Ein Wendepunkt liegt dort wo die 2.Ableitung 0 ist.
Damit muss wohl

2 e^{x} = k

sein
dann in

f (x) = {(e^{x} - 2 e^{x})}^{2}

Eine der Funktionen der Schar ist Ortslinie der Wendepunkte nämlich die mit

k = 0

In meiner Grafik siehst grün die Funktionen mit

k = 5

von rechts nach links bis

k = 1

.
Und die mit

k = 0

verbindet die Wendepunkte.heiist bei mir

g (x)

bzw.

h (x)

1223374

1223179

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