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Partialbruchzerlegung ohne Nullstellen im Nenner

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Partialbruchzerlegung

-Kat- aktiv_icon

11:54 Uhr, 10.10.2011

Hallo zusammen,

meine Aufgabe lautet: x³ / (x²+1) und ich möchte die Stammfunktion ermitteln. Mit Partialbruchzerlegung komme ich hier nun aber nicht voran, da ich keine reelle Nullstelle im Nenner habe.

Meine Frage nun: geht Partialbruchzerlegung in dem Falle gar nicht oder muss ich vorher noch einen weiteren Schritt machen. Oder wäre hier ein ganz anderes Verfahren evtl. sinnvoller. Mit Substitution bin ich auch nicht weit gekommen.

Vielen Dank für Tipps und Hinweise.

LG
-Kat-

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

funke_61 aktiv_icon

11:58 Uhr, 10.10.2011

zuerst würde ich den Zähler so schreiben:

\frac{x^{3} + x - x}{x^{2} + 1}

dann kannst Du den Bruch in eine Summe (aus einem "Polynom" in einer "gebrochen rationalen Funktion" (Rest)) aufteilen.
Formal geht das auch mit einer Polynomdivision, bei der ein Rest bleibt (das macht man immer dann, wenn Zählergrad

\geq

Nennergrad)
;-)

-Kat- aktiv_icon

12:15 Uhr, 10.10.2011

bin nicht sicher ob ich dich richtig verstanden habe :-)

also ich versuche nun (x³+x-x) / (x²+1) quasi wie eine Polynomdivision durchzuführen? dann käme ich auf

x + (\frac{1}{x}) - (\frac{1}{x})

oder meintest du damit ich kann
((x³)/(x²+1))

+

(x/(x²+1)) - (x/(x²+1))

funke_61 aktiv_icon

12:25 Uhr, 10.10.2011

sorry,
was ich meinte war nur folgender Trick:

\frac{x^{3}}{x^{2} + 1} = \frac{(x^{3} + x) - x}{x^{2} + 1} = \frac{x (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} - \frac{x}{x^{2} + 1} = x - \frac{x}{x^{2} + 1}

soweit klar?

Und diesen Weg könnte man auch über eine Polynomdivision machen:

x^{3} : (x^{2} + 1) = x - \frac{x}{x^{2} + 1}

bei der als "Rest" eben die

- \frac{x}{x^{2} + 1}

bleibt.

funke_61 aktiv_icon

12:32 Uhr, 10.10.2011

vielleicht fehlt Dir noch dieser Schritt:

\frac{x^{3} + x}{x^{2} + 1} = \frac{x (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = x

zum Verständnis?

-Kat- aktiv_icon

12:40 Uhr, 10.10.2011

achso :-) ok. Durch diesen Trick erspart man sich die Polynomdivision. :-D)

und durch diese "Vereinfachung" muss man nun nur noch (-x/(x²+1)) integrieren. Das wäre dann ja