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Partielle Integration von (sin(x))^3

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Partielle Integration, Sinusfunktion

Imperanon aktiv_icon

17:52 Uhr, 07.10.2012

Hallöchen,

ich komme einfach nicht weiter. Lösungsansatz anbei. Irgendwo steckt der Wurm drin, habe inzwischen schon etliche Versuche gebraucht und alle endeten in einem falschen Ergebnis.
Vielleicht könnt ihr mir mal auf die Sprünge helfen...
Bitte keine Substitution, sondern nur per partieller Integration.
Die Integrationsgrenze die Oben noch mit auf dem Zettel steht bitte ignorieren.

Viele Grüße,
Meno

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Allgemeine Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Sinus- und Kosinusfunktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

rundblick aktiv_icon

18:16 Uhr, 07.10.2012

"Bitte keine Substitution, sondern nur per partieller Integration."

WIESO denn das?

bei deiner dritten Zeile

\to

\int

sinx

d x - \int {cos}^{2} x

sinx

d x

bist du doch praktisch schon fertig,
wenn du beim zweiten Integral z=cosx substituierst?

.. und was du falsch gemacht hast?

\int u \cdot v' \cdot d x = u \cdot v - \int u' \cdot v \cdot d x \to

u = {cos}^{2} x \to u' = .

. ist richtig
aber dann geht es so:

v' =

sinx

\to v = . .

.

usw..
ok?

Imperanon aktiv_icon

20:45 Uhr, 07.10.2012

Danke für deine Antwort.
Die Aufgabe soll per partieller Integration gelöst werden - warum auch immer.

Anbei mein nächster Versuch, stimmt es diesmal?
Was mich sehr irritiert ist in der 5. Zeile von Unten das Minus (wo auch was durchgekritzelt ist). Müsste es da nicht eigentlich Plus heißen, da

- 2 * (- s i n^{3} (x)) = + 2 * s i n^{3} (x)

oder verdödel ich da etwas?

rundblick aktiv_icon

20:53 Uhr, 07.10.2012

hm
deine Kopie kann man kaum lesen
also zu mühsam für eine Antwort ..

schreib das doch einfach direkt hier auf

\to

vielleicht mag dann eher dir jemand antworten.

Imperanon aktiv_icon

21:23 Uhr, 07.10.2012

Ja, die teure Kamera macht nur brauchbare Bilder bei Tageslicht...

Also Versuch Nr. 2:

\int s i n^{3} (x) d x = \int s i n^{2} (x) * s i n (x) d x

s i n^{2} (x) = 1 - c o s^{2} (x)

\int s i n^{3} (x) d x = \int (1 - c o s^{2} (x) * s i n (x) d x

= \int s i n (x) - s i n (x) * c o s^{2} (x) d x

= \int s i n (x) d x - \int s i n (x) * c o s^{2} (x) d x

= [- c o s (x)] - \int s i n (x) * c o s^{2} (x) d x

v (x) = c o s^{2} (x)

\to v ʹ (x) = - 2 * c o s (x) * s i n (x)

u ʹ (x) = s i n (x)

\to u (x) = - c o s (x)

= [- c o s (x)] - [c o s^{2} (x) * (- c o s (x))] - \int (- c o s (x) * (- 2) * c o s (x) * s i n (x)) d x

= [- c o s (x) + c o s^{3} (x)] - 2 * \int (- c o s^{2} (x) * s i n (x)) d x

= [- c o s (x) + c o s^{3} (x)] + 2 * \int c o s^{2} (x) * s i n (x) d x

= [- c o s (x) + c o s^{3} (x)] + 2 * \int (1 - s i n^{2} (x)) * s i n (x) d x

= [- c o s (x) + c o s^{3} (x)] + 2 * \int s i n (x) - s i n^{3} (x) d x

= [- c o s (x) + c o s^{3} (x)] + 2 * \int s i n (x) d x - 2 * \int s i n^{3} (x) d x

3 * \int s i n^{3} (x) = [- c o s (x) + c o s^{3} (x)] + [2 * (- c o s (x))]

3 * \int s i n^{3} (x) = c o s^{3} (x) - 3 * c o s (x)

\int s i n^{3} (x) = \frac{c o s^{3} (x)}{3} - c o s (x)

Hab meinen Fehler beim abtippen gefunden!
So stimmt es oder? ;-)

rundblick aktiv_icon

21:34 Uhr, 07.10.2012

"So stimmt es oder?"

.. JEIN -

beim notierten Ergebnis fehlt :

1) \to

links das Differential

2) \to

rechts die Integrationskonstante ..

. .

Imperanon aktiv_icon

21:40 Uhr, 07.10.2012

... das stimmt wohl. Ich neige ein wenig zur Vergesslichkeit.
Also

\int s i n^{3} (x) d x = \frac{c o s^{3} (x)}{3} - c o s (x) + C

stimmt dann aber, korrekt?

rundblick aktiv_icon

21:43 Uhr, 07.10.2012

... ... ... ... ... ...

. korrekt

! ... ... ... ... ...

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