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Polynomfunktion 4. Grades aufstellen?

Schüler Gymnasium, 9. Klassenstufe

Tags: Polynomfunktion

Done86 aktiv_icon

15:11 Uhr, 08.09.2014

Hallo,

ich habe die Aufgabe aus dem Anhang.

Ich kenne nun die Normalform einer Funktion 4. Grades. Diese lautet:

f (x) =

a·

x^{4} +

b·

x^{3} +

c·

x^{2} +

d·

x + e

Nun habe ich ja vier Nullstellen:

(1 | 0)

(2 | 0)

(- 1 | 0)

(- 2 | 0)

Diese Nullstellen muss ich ja noch nach einander (also maximal drei Mal) in die Gleichung

f (x) =

a·

x^{4} +

b·

x^{3} +

c·

x^{2} +

d·

x + e

einsetzen.

Nun mein Problem:

Wir sollen das in der Schule aktuell nach dem einsetzen und ausrechnen mit einer Matrix lösen. Fällt das

e

beim einsetzen einfach weg? Denn bei dem

e

gibt es ja kein

x

und ich kann hier keine Zahl einsetzen?

Nun rechne ich einfach mal.

a·

1^{4} +

b·

1^{3} +

c·

1^{2} +

d·

1 + e = 0

a·

2^{4} +

b·

2^{3} +

c·

2^{2} +

d·

2 + e = 0

a·

{(- 1)}^{4} +

b·

{(- 1)}^{3} +

c·

{(- 1)}^{2} +

d·

(- 1) + e = 0

1 a + 1 b + 1 c + 1 d + e = 0

16 a + 8 b + 4 c + 2 d + e = 0

1 a - 1 b + 1 c - 1 d + e = 0

Nun kann ich das so in eine Matrix eingeben beziehungsweise ist das bisher richtig?

Vielen Dank ;-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Polynomdivision
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung
Tangente / Steigung

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

rundblick aktiv_icon

15:24 Uhr, 08.09.2014

"

Wir sollen das in der Schule aktuell nach dem einsetzen und ausrechnen mit einer Matrix lösen
"

hast du das richtig mitbekommen?

denn :
solche Aufgaben

(4

Nullstellen sind gegeben!) löst man doch sofort mit der Linearfaktorzerlegung ..

na ja - zur Kontrolle für deine Matrix- Rechnung: es ist

y = a \cdot (x^{2} - 1) \cdot (x^{2} - 4)

Done86 aktiv_icon

15:31 Uhr, 08.09.2014

Vielen Dank... Wäre mein Lösungsweg also falsch?

Wie würde das mit der Linearfaktorzerlegung aussehen?

Danke!

rundblick aktiv_icon

15:44 Uhr, 08.09.2014

⋆

\to

dein Lösungsweg ist

i

.Pr. nicht falsch -
allerdings fehlt noch die vierte Gleichung für die Nullstelle

x = - 2

und dann ist da noch der freie fünfte Parameter ( zähle:

a, b, c, d, e)

und nur 4 Gleichungen .. wie kommst du damit über die Runden?

⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆

\to

wenn die 4 Nullstellen

(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})

eines Polynoms 4.-ten Grades bekannt sind,
dann kann man den Ansatz für die Gleichung immer so aufschreiben :

y = a \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2}) \cdot (x - x_{3}) \cdot (x - x_{4})

.. wobei der Parameter

a \neq 0

noch frei gewählt werden kann (siehe dein Aufgabentext)

.. überlege, warum das so ist..
und warum das dann Linearfaktor-Zerlegung getauft wurde..

Done86 aktiv_icon

16:11 Uhr, 08.09.2014

Hallo Rundblick,

herzlichen Dank, für deine Hilfe!

Ich hatte wohl einen Denkfehler. Ich dachte wenn ich nur drei Funktionsterme aufstellen muss, dann brauche ich auch nur drei Gleichungen.

Ich versuche mich eben mal an meinem Weg und danach versuche ich deinen (der kommt mir schneller vor).

1 a + 1 b + 1 c + 1 d + e = 0

16 a + 8 b + 4 c + 2 d + e = 0

1 a - 1 b + 1 c - 1 d + e = 0

16 a - 8 b + 4 c - 2 d + e = 0

Das ganze gebe ich nun als Matrix ein.

Da kommt dann folgendes raus:

- 0.25

1.25

0

So richtig weiter gebracht hat mich das nun nicht.

Könnte es einsetzen:

f (x) =

a·

{(- 0.25)}^{4} +

b·

0^{3} +

c·

1 . 25^{2} +

d·

0 + e

Irgendwie stehe ich hier gerade auf dem Schlauch...

Mein Ansatz war eigentlich, dass ich ja vier Punkte gegeben habe... Bei so Aufgaben habe ich das immer über das Einsetzen gemacht... Aber irgendwie komme ich da nicht weiter. Irritiert mich auch, dass ich drei mögliche Funktionsterme aufstellen muss. Bei meinem Rechenweg bekomme ich doch nur einen möglichen Funktionsterm raus?

Vielen Dank!

rundblick aktiv_icon

17:07 Uhr, 08.09.2014

"
Irgendwie stehe ich hier gerade auf dem Schlauch..."

\to

Ja - der arme Schlauch..
bei deinem

f (x)

taucht auf der rechten Seite ja gar kein "x" auf ?!?
nun
oben habe ich dir die gesuchte Gleichung doch schon notiert:

f (x) = a \cdot (x^{4} - 5 x^{2} + 4)

also zB mit

a = 1 ... .

\Rightarrow f (x) = x^{4} - 5 x^{2} + 4

oder mit

a = 3

... .

\Rightarrow f (x) = 3 x^{4} - 15 x^{2} + 12

oder mit

a = - \frac{1}{4} ... .

\Rightarrow f (x) = - \frac{1}{4} x^{4} + \frac{5}{4} x^{2} - 1

siehe

!!

usw,usw..

Anmerkung:
für alle möglichen Beispiele sind

b

und

d

immer gleich

0 .

Done86 aktiv_icon

17:45 Uhr, 08.09.2014

Puhhh...

Also ich habe ja 5 Unbekannte. Dementsprechend brauche ich auch 5 Gleichungen.

4 habe ich hier:

1 a + 1 b + 1 c + 1 d + e = 0

16 a + 8 b + 4 c + 2 d + e = 0

1 a - 1 b + 1 c - 1 d + e = 0

16 a - 8 b + 4 c - 2 d + e = 0

Nun müsste ich noch eine fünfte Gleichung aufstellen? Aber mit welchem Punkt?

Zudem verstehe ich eine Sache einfach nicht:

"Geben Sie die Funktionsterme von DREI möglichen Funktionen an"

Entschuldige, dass ich hier gerade so lange brauche um das zu verstehen...

Dankeschön!

rundblick aktiv_icon

20:58 Uhr, 08.09.2014

"
Nun müsste ich noch eine fünfte Gleichung aufstellen? Aber mit welchem Punkt?"

nein, du mussst keine 5.-te aufstellen

du kannst alle deine 4 Gleichungen durch a teilen
( es ist a gerantiert ungleich 0 als Vorzahl von

x^{4})

dann hast du die vier Parameter

p = \frac{b}{a} q = \frac{c}{a} r = \frac{d}{a}

und

s = \frac{e}{a}

und dann bekommst du deine vier Lösungen für die vier Gleichungen
und alle enthalten den Parameter a
setze ein und multipliziere mit a und du erhältst

f (x) = a \cdot (x^{4} - 5 x^{2} + 4)

Im Aufgabentext steht ja: die Funktion ist damit noch nicht eindeutig bestimmt
dh im Klartext: du hast noch freie Wahl für einen Parameter (hier das

a)

und dann:

"Geben Sie die Funktionsterme von DREI möglichen Funktionen an"

\Rightarrow

und wenn du für a irgendwelche Zahlen einsetzt, dann bekommst du konkrete
Funktionsterme für

f (x)

\to

ich habe dir doch oben schon drei verschiedene Kurvengleichungen notiert,
die alle die gegebenen vier Nullstellen haben - aber sonst verschieden verlaufen

schau dir die Beispiele an und finde selbst weitere...

ok?

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