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Prüfe, ob drei Vektoren Basis von V3 sind
Schüler Berufsmaturitätsschule, 12. Klassenstufe
Tags: basis, V3, Vektorgeometrie
 
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Hallo Zusammen Es ist noch etwas aufgetaucht, was mir Mühe bereitet...
Aufgabe: Prüfen Sie, ob die drei gegebenen Vektoren eine Basis von V3 sind. (Mit Gleichungssystem) Kann mir wer bitte erläutern, wie ich diese Aufgabe sauber und effizient mit einem Gleichungssystem lösen kann... Mit der Prüfung von V2 hatte ich keine Mühe (Ebene) 2 Unbekannte, 2 Gleichungen....
Vielen Dank! Gruss Peter
Ps. die Klammern werden leider zu klein angezeigt, diese sollten natürlich alle 3 Zeilen umschliessen... Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Wenn Du drei linear unabhängige Vektoren hast, hältst Du eine Basis des in der Hand. Du musst also nur noch die l.U. prüfen. Linear unabhängig bedeutet: der Nullvektor ist nur trivial darstellbar. Übersetzt heißt das: Du kannst dir drei Gleichungen bzw. eine erweiterte Koeffizientenmatrix aufstellen, also: oder: Wenn die einzige(!) Lösung für dieses Gleichungssystem die (triviale) Nulllösung, also ist, sind sie linear unabhängig. Andernfalls nicht. |
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Hallo Smoka Danke für deine Antwort Was würde diese Koeffizientenmatrix für den weiteren Lösungsweg dann bedeuten, also wie würde der weitere Lösungsweg dann aussehen? Weil ich habe noch nicht mit diesen Matritzen gearbeitet, als ich mich vorher im Internet erkundigt habe, bin ich auch darauf gestossen, konnte mir aber nicht so richtig weiterhelfen...
Danke und Gruss Peter |
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Hi Peter. Was machst Du zur Zeit? Schule/Studium/??? Wenn ihr noch nicht mit Matrizen gearbeitet habt, kannst Du es auch auf ganz normalem Wege (mittels Einsetzungs-, Gleichsetzungs- und Additionsverfahren) lösen. |
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Berufsmaturitätsschule ( N abgeschwächtes Abi :) ) Ehm, also wir hatten schon mit Koeffizientenmatrizen zu tun (während den Gleichungssystemen)
Aber ich sehe grade nicht mehr, wie man die Koeffizienten zusammenzählen muss, währe froh, wenn du mir das kurz zeigen könntest, weil diese Methode sehe ich auch als einfacher, als die Einsetzungs- Gleichsetzungs- Additionsmethode
Gruss und danke Peter
Sonst würde man das ja einfach auf ganz normalem Wege lösen, so oder: 4 = -r + 6s 5 = 3r - 4s 3 = 4r - 2s Ich will ja beweisen, dass die Vektoren linear abhängig bzw. unabhängig sind darum schaue ich ob: oder mache ich da einen Überlegungsfehler? |
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nein so darfst du das nicht machen, du musst dir in den oberen gleichungen mit dem 3 lamdas alle drei ausrechnen, du eliminierst zuerst zum beispiel aus der 1. und der 2. Gleichung das lamda1, dann aus der 2. und der 3. wieder das lamda1. aus den beiden erhaltenen gleichungen eliminierst du dann zum beispiel lamda2 und hast dann das ergebnis für lamda3. durch einsetzten erhältst du dann die anderen. ist nicht wirklich schwierig, musst du nicht unbedingt mit den matrizen machen |
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Wenn Du es nach Gauß machen möchtest, hier ist das ganz gut erklärt: http//home.arcor.de/penneweb/Abi2004/Gauss.html |
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Hallo Caritas Danke für deine Antwort: Also ich hab jetzt folgendermasse, mit der Additionsmethode gearbeitet: I) 0 = 4r -s +6t II) 0 = 5r +3s -4t III) 0 = 3r +4s -2t
5 * I 0 = 20r - 5s + 30t -4 * II 0 = -20r -12s +16t ______________________ IV) 0 = -17s +46t
3 * II 0 = 15r + 9s - 12t -5 * III 0 = -15r -20s + 10 t ________________________ V) 0 = -11s -2t
IV) 0 = -11s -2t V) 0 = -17s + 46t
23 * IV 0 = -253s - 46t V 0 = -17s + 46t ______________________ VI 0 = -270s --> S = 0
V) 0 = 0 -2t ---> t = 0
III) 0 = 3r + 0 -0 ---> r=0
Also gilt hier nur die triviale Lösung 0, was heisst, die Vektoren sind linear unabhängig und bilden eine Basis von V3.... Laut meinen Lösungen stimmt es so... Hattest du so gemeint, Caritas? |
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Ich habe nun nicht jeden Deiner Rechenschritte nachvollzogen, aber Dein Ergebnis stimmt. Der Nullvektor ist nur trivial darstellbar, also handelt es sich um eine Basis des . |
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Okay :) Vielen Dank für die Hilfe euch beiden!
Gruss Peter |
