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Prüfen, ob die Vektorräume eine Basis bilden

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: basis, Linearkombination, Vektorraum

Albert-Steiner aktiv_icon

01:56 Uhr, 09.01.2018

Hallo zusammen. Habe eine Frage bezüglich der Basis von einem Vektorraum U, der durch U1+U2 definiert ist, wobei U1 und U2 die Vektorräume des

ℝ^{4}

sind.

Angenommen, U1 = <(1,0,2,1), (0,0,1,1)> und U2 = <(-1,1,1,-1), (1,0,-1,1), (0,1,-1,0)>. Dann U = U1 + U2 = <(1,0,2,1), (0,0,1,1), (-1,1,1,-1), (1,0,-1,1), (0,1,-1,0)>. Dann berechne ich den Rang der Matrize mit den Vektoren in U und dieser Rang R = 4 (das kann man auch irgendwo im Internet prüfen). Aber dann ist R < als die Anzahl der Vektoren in U und folglich ist das Vektorsystem in U linear abhängig und bildet keine Basis. Habe ich es richtig verstanden?

Das kommt mir komisch vor, weil in der Aufgabe steht, dass man diese Basis B von U1 + U2 finden muss und dann ein x =

(

0, 8, 1, 5

)^{T} \in ℝ^{4}

als Linearkombination von Basisvektoren aus B darstellen muss. Wo habe ich denn Fehler gemacht?

Übrigens: was bedeutet T bei x =

(

0, 8, 1, 5

)^{T} ?

Vielen Dank

A. Steiner

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

pwmeyer aktiv_icon

11:06 Uhr, 09.01.2018

Hallo,

wenn Du Dich bei der RangBerechnung nicht verrechnet hast, bedeutet das:

U

hat eine Basis aus 4 Elementen, einer von den fünf ist linear abhängig von den anderen. (Weil die Dimension von

ℝ^{4}

gleich 4 ist, bedeutet das hier, dass

U = ℝ^{4}

ist.)

Du musst also unter den 5 Vektoren 4 finden die linear unabhängig sind. Ich würde dazu das Gleichungssystem

λ_{1} \cdot u_{1} + . .

λ_{5} \cdot u_{5} = 0

untersuchen. Es gibt andere Wege. (Falls wirklich

U = ℝ^{4}

ist, kannst Du natürlich irgendeine Basis des

ℝ^{4}

nehmen)

Das hochgestellte

T

bedeutet "transpoiren":

{(a, b, c, d)}^{T} = (\begin{matrix} a \\ b \\ c \\ d \end{matrix})

Es wird verwendet, weil Spaltenvektoren viel Platz wegnehmen. Insofern ist die Aufgabenstellung nicht konsistent formuliert.

Gruß pwm

Albert-Steiner aktiv_icon

21:33 Uhr, 09.01.2018

Hi,

alles klar, danke. Habe irgendwie nicht gedacht, dass vier Vektoren für Basis reicht. Ich habe alle fünf Vektoren zeilenweise in Form einer Matrix aufgeschrieben, dann in Stufenform gebracht und danach habe alle Zahlen, die über der Hauptdiagonale stehen, in Nullen verwandelt. Also aus der Matrix

(\begin{array}{rcl} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ - 1 & 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array})

kann ich solche Matrix (die Standardbasis) bekommen:

(\begin{array}{rcl} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array})

Die ist zwar richtig, aber trivial. Kann ich z.B. diese Matrix

(\begin{array}{rcl} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array})

als Basis verwenden? Drin stehen genau die vektoren

u_{1}, u_{2}, u_{4}, u_{5}

aus dem Vektorraum U.

PS: Die Matrizen mit -1-Einträgen sehen hier in dieser "LaTeX-Form" komisch aus.

Vielen Dank

A. Steinder

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