Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Quadratische Gleichung mit komplexen Zahlen lösen

Quadratische Gleichung mit komplexen Zahlen lösen

Schüler Abendgymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Imaginäre Zahlen, Komplexe Zahlen, Quadratische Gleichung

ProjektDani aktiv_icon

09:42 Uhr, 13.04.2018

Servus,

Ich brauche Hilfe bei der folgenden Aufgabe :

x^{2} + (1 + i) x - 2 (1 - i) = 0

Es gilt die Lösungen der quadratischen Gleichung anzugeben.

Mein Lösungsansatz :

x 1,2 = - (\frac{p}{2}) \pm {({(\frac{p}{2})}^{2} - q)}^{\frac{1}{2}}

x 1,2 = - \frac{1 + i}{2} \pm {({(\frac{1 + i}{2})}^{2} - - 2 \cdot (1 - i))}^{\frac{1}{2}}

x 1,2 = - \frac{1 + i}{2} \pm ((\frac{1 + 2 i - 1}{4}) + 2 - 2 i))^{\frac{1}{2}}

x 1,2 = - \frac{1 + i}{2} \pm ((\frac{1}{2}) i + 2 - 2 i))^{\frac{1}{2}}

x 1,2 = - \frac{1 + i}{2} \pm {(- \frac{5}{2} i + 2)}^{\frac{1}{2}}

Wo hab ich mich verrechnet, bzw. wie verfahr ich weiter ?

Ergebnis soll sein

x 1 = - 2

x 2 = 1 - i

Vielen Dank im voraus
Lieben Gruß
Dani

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Gemischte Aufgaben
Lösen durch Faktorisieren (Ausklammern)
Lösen durch Umstellen
Lösen mit der Lösungsformel (Mitternachtsformel)
Lösen mit der Lösungsformel (pq-Formel)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Respon

10:01 Uhr, 13.04.2018

vorerst

. .

.
Diskriminante:

\frac{{(1 + i)}^{2}}{4} + 2 - 2 \cdot i = \frac{1 + 2 \cdot i - 1}{4} + 2 - 2 \cdot i = \frac{1 + 2 \cdot i - 1 + 8 - 8 \cdot i}{4} = \frac{- 6 \cdot i + 8}{4}

\Rightarrow

x_{1,2} = - \frac{1 + i}{2} \pm \frac{1}{2} \cdot \sqrt{8 - 6 \cdot i}

Bummerang

10:12 Uhr, 13.04.2018

Hallo,

Du bist richtig bis zur letzten Zeile der Berechnung, dort hast Du

- 2 \cdot i

und

\frac{1}{2} \cdot i

nicht richtig zusammengefasst!

Danach musst Du die Wurzel aus

(2 - \frac{3}{2} \cdot i)

ziehen!

Das kannst Du

z . B

. so machen:

{(a + b \cdot i)}^{2} = 2 - \frac{3}{2} \cdot i

a^{2} - b^{2} + 2 \cdot a \cdot b \cdot i = 2 - \frac{3}{2} \cdot i

\Rightarrow

Gleichungssystem:

a^{2} - b^{2} = 2

2 \cdot a \cdot b = - \frac{3}{2} \Rightarrow b = - \frac{3}{4 \cdot a} \Rightarrow b^{2} = \frac{9}{16 \cdot a^{2}}

\Rightarrow

a^{2} - \frac{9}{16 \cdot a^{2}} = 2

a^{4} - \frac{9}{16} = 2 \cdot a^{2}

a^{4} - 2 \cdot a^{2} - \frac{9}{16} = 0

{(a^{2})}_{1,2} = 1 \pm \sqrt{1 + \frac{9}{16}} = 1 \pm \sqrt{\frac{25}{16}} = 1 \pm \frac{5}{4}

a^{2} = 1 - \frac{5}{4} = - \frac{1}{4}

Widerspruch dazu, dass

a \in ℝ

a^{2} = 1 + \frac{5}{4} = \frac{9}{4} \Rightarrow a_{1} = - \frac{3}{2}, a_{2} = \frac{3}{2}

\Rightarrow

b_{1} = - \frac{3}{4 \cdot a_{1}} = - \frac{3}{4 \cdot (- \frac{3}{2})} = - \frac{3}{- 6} = \frac{1}{2}

b_{2} = - \frac{3}{4 \cdot a_{2}} = - \frac{3}{4 \cdot \frac{3}{2}} = - \frac{3}{6} = - \frac{1}{2}

Die beiden Lösungen

(- \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \cdot i)

und

(\frac{3}{2} - \frac{1}{2} \cdot i)

sind bis auf den Faktor

(- 1)

identisch, so dass sich bei

\pm

nur eine andere Reihenfolge der Ergebnisse ergibt. Ich rechne weiter mit

(\frac{3}{2} - \frac{1}{2} \cdot i) = \frac{3 - i}{2}

x_{1,2} = - \frac{1 + i}{2} \pm \frac{3 - i}{2}

x_{1} = - \frac{1 + i}{2} - \frac{3 - i}{2} = \frac{- 1 - i - 3 + 1}{2} = - \frac{4}{2} = - 2

x_{2} = - \frac{1 + i}{2} + \frac{3 - i}{2} = \frac{- 1 - i + 3 - i}{2} = \frac{2 - 2 \cdot i}{2} = 1 - i

Atlantik aktiv_icon

12:24 Uhr, 13.04.2018

Oder so und mit Herleitung, dass

(8 - 6 i) = {(i - 3)}^{2}

ist

x^{2} + (1 + i) \cdot x - 2 \cdot (1 - i) = 0

x^{2} + (1 + i) \cdot x = 2 \cdot (1 - i) | + q . E . {(\frac{1 + i}{2})}^{2}

x^{2} + (1 + i) \cdot x + {(\frac{1 + i}{2})}^{2} = 2 \cdot (1 - i) + {(\frac{1 + i}{2})}^{2}

{(x + \frac{1 + i}{2})}^{2} = 2 - 2 i + \frac{1 + 2 i - 1}{4} = \frac{8 - 8 i + 2 i}{4} = \frac{8 - 6 i}{4}

x_{1} = - \frac{1 + i}{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{8 - 6 i}

x_{2} = - \frac{1 + i}{2} - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{8 - 6 i}

Zwischenrechnung:

8 - 6 i = 8 - 6 i + i^{2} - i^{2}

- - - -

i^{2} - 6 i + 8 = 0

{(i - 3)}^{2} = - 8 + 9 = 1

{(i - 3)}^{2} - 1 = 0

- - - -

i^{2} - 6 i + 8 = {(i - 3)}^{2} - 1

- - -

8 - 6 i = {(i - 3)}^{2} - 1 - i^{2}

8 - 6 i = {(i - 3)}^{2}

- - - - - -

x_{1} = - \frac{1 + i}{2} + \frac{1}{2} \cdot (i - 3) = - \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{i}{2} - \frac{3}{2}

x_{1} = - 2

x_{2} = - \frac{1 + i}{2} - \frac{1}{2} \cdot (i - 3) = - \frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2}

x_{2} = 1 - i

mfG

Atlantik

ProjektDani aktiv_icon

18:22 Uhr, 16.04.2018

Vielen Dank für das Feedback !
Hat mir sehr geholfen.

Lieben Dank
Gruß
Dani

ProjektDani aktiv_icon

20:09 Uhr, 16.04.2018

Vielen Dank nochmal für eure ausführlichen Antworten. Ich bin auf die Lösung gekommen. Ich habe aber noch eine Rückfrage - mit Hinblick auf den Lösungsansatz von Bummerang.

##(

x^{2} = {(4)}^{\frac{1}{2}} \to x 1 = 2; x 2 = - 2

Bsp. einer Fallunterscheidung - beim wurzel ziehen ist bei mir die 1. ##Lösung immer positiv und die 2. negativ)

Es geht um die Fallunterscheidung:

a^{2} = 1 + \frac{5}{4} = \frac{9}{4}

⇒

a 1 = \frac{3}{2}

a 2 = - \frac{3}{2}

Wenn ich jetzt aber

b

über

a^{2} - b^{2} = 2 \to {(a^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} = b

berechne ist

b 1

positiv und

b 2

negativ

b 1 = \frac{1}{2}

b 2 = - \frac{1}{2}

x 1,2 = - \frac{1 + i}{1} \pm (+ \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i) \to

falsch

x 1,2 = - \frac{1 + i}{1} \pm (+ \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i) \to

richtig (bekommt man aber nur, wenn man die 2. Gleichung bemüht)

Ich habe gesehen, dass du

b

über die 2. Gleichung bestimmt hast und das so das vorzeichen von

b 1

entgegengesetzt

a 1

ist und sich so das richtige Ergebnis einstellt.
Was spricht dagegen,

b

auch über die 1. Gleichung zu bestimmen ?(bzw. warum wird das Ergebnis falsch) Ich hoffe meine Frage ist verständlich. Für eine kurze Erklärung wäre ich sehr dankbar.

Vielen Dank im voraus
Gruß
Dani

Bummerang

19:16 Uhr, 17.04.2018

Hallo,

""

Die erste Gleichung bringt uns nicht

b

sondern nur den Betrag von

b

. Es muss in jedem Fall mittels einer Probe überprüft werden, ob und wenn ja welches

b

eine Lösung ist. Das gilt natürlich auch für

a

. Die erste Gleichung bringt uns nur den Betrag von

a

. Wenn man nun für

b

mit ersten Gleichung fortfäht, hat man am Ende zwei Beträge, die zu 4 verschiedenen Lösungen gehören. Diese 4 Lösungen sind dann in einer Probe zu verifizieren! Nimmt man wie ich für

b

gleich die zweite Gleichung, erhält man zu den zwei Möglichkeiten für a noch jeweils genau ein

b

und man hat zwei potentielle Lösungen, die man in einer Probe bestätigen muss. Damit hat man nur den den halben Aufwand und braucht dafür wahrscheinlich in einer Klausur nur die halbe Zeit. Ich habe hier großzügig auf diese Probe verzichtet, weil ich weiss, dass es zwei Lösungen gibt, die letztendlich durch die Multiplikation von

(- 1)

auseinander hervorgehen. Aber Du solltest eine Probe machen!

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1422703

1422111

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?