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Quersumme Beweis

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Tags: Beweis, Quersumme

bienchen512 aktiv_icon

15:31 Uhr, 25.11.2009

Hallo zusammen...es gibt mal wieder eine Aufgabe, bei der mir absolut der Ansatz zum Lösen fehlt:

a) Für natürlich Zahlen n sei $Q_{10} (n)$ die Quersumme von von im Dezimalsystem.

Zeigen Sie: Eine natürliche Zahl n ist durch 3 teilbar $\Leftrightarrow$ $Q_{10} (n)$ durch 3 teilbar

b) Lässt sich die Aussage auf andere Teiler oder auf andere Stellenwertsysteme verallgemeinern?

Bitte um HILFE :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DK2ZA aktiv_icon

18:32 Uhr, 25.11.2009

a)

Ein Beispiel:

n = 3567

Quersumme

= 21

Man kann

n

auch so schreiben:

3 \cdot 1000 + 5 \cdot 100 + 6 \cdot 10 + 7 =

= 3 \cdot (999 + 1) + 5 \cdot (99 + 1) + 6 \cdot (9 + 1) + 7 =

= 3 \cdot 999 + 5 \cdot 99 + 6 \cdot 9 + 3 + 5 + 6 + 7

Die drei Produkte sind alle durch 3 teilbar.

Also kommt es nur noch auf die (Quer-)Summe

3 + 5 + 6 + 7 = 21

an.

Wenn diese durch 3 teilbar ist, dann ist auch

n

durch 3 teilbar.
Wenn

n

durch 3 teilbar ist, dann muss auch die Summe durch 3 teilbar sein.

Da die drei Produkte auch durch 9 teilbar sind funktioniert die Regel auch in Bezug auf die Teilbarkeit durch 9.

b)

Da die Zahlen

9, 99, 999, 9999, 99999, . .

. nur die gemeinsamen Teiler 3 und 9 haben, funktioniert die Regel mit anderen Teilern nicht.

Bei Stellenwertsystemen mit anderer Basis

b

funktioniert die Regel für Teilbarkeit durch 3 dann, wenn alle um 1 verringerten Potenzen der Basis durch 3 teilbar sind.

Beim Zehnersystem waren das

10^{1} - 1, 10^{2} - 1, 10^{3} - 1, 10^{4} - 1

usw...

Also ist die Frage:

Für welche natürlichen Zahlen

b

sind

b^{1} - 1, b^{2} - 1, b^{3} - 1, . .

. usw. durch 3 teilbar?

Probieren wir mal

b = 16

(Hexadezimalsystem):

16^{1} - 1 = 15

16^{2} - 1 = 255

16^{3} - 1 = 4095

16^{4} - 1 = 65520

Alle durch 3 teilbar! Und durch

5!

Hmmm...

GRUSS, DK2ZA

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