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Rechenregeln einer Ungleichung beweisen

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Funktionentheorie

Tags: Funktion, Funktionalanalysis, Funktionentheorie

Atomschlumpf aktiv_icon

14:56 Uhr, 03.11.2016

Folgende Rechenregeln sind zu beweisen

a) \forall a, b > 0 \forall r > 0, r \in ℚ : a < b \Leftrightarrow a^{r} < b^{r}

b) \forall a,0 < a < 1, \forall r, sin Q, r < s : a^{r} > a^{s}

folgende Gleichungen dürfen hierfür verwendet werden

a^{r} \cdot a^{s} = a^{r + s}

{(a^{r})}^{s} = a^{r \cdot s}

a^{r} \cdot b^{r} = {(a \cdot b)}^{r}

\frac{a^{r}}{a^{s}} = a^{r - s}

\frac{a^{r}}{b^{r}} = {(\frac{a}{b})}^{r}

\forall a, b > 0 \forall r >, r \in ℚ : (a < b \Leftrightarrow a^{r} < b^{r})

\forall a, b > 0 \forall r < 0, r \in Q : (a < b \Leftrightarrow a^{r} > b^{r})

\forall a > 0 \forall r, s \in Q, r < s : [(a^{r} < a^{s} \Leftrightarrow a > 1) \land (a^{r} > a^{s} \Leftrightarrow a < 1)]

Danke im Voraus für eure Hilfe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln zum Integral
Rechnen mit Logarithmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

DrBoogie aktiv_icon

09:39 Uhr, 05.11.2016

Ist recht einfach.
Z.B. a)

a < b

\frac{a}{b} < 1

(\frac{a}{b})^{r} < 1^{r} = 1

\frac{a^{r}}{b^{r}} <

a^{r} < b^{r}

.

Und b) folgt eigentlich direkt aus der der letzten Zeile, die verwendet werden darf.

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