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Regel von L'Hospital ?

Schüler Fachschulen, 12. Klassenstufe

Tags: Analysis, Regel von l'Hospital

anonymous

15:10 Uhr, 14.12.2003

Ich hab keine Ahnung, was das ist, sollte es aber in der Klassenarbeit anwenden können.

Könnt ihr mir sagen was das ist und vielleicht ein paar Beispiele machen ?

Ich wär echt sehr dankbar.

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Grenzwert mit l'Hospital bestimmen

Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

Wie bestimmt man einen Grenzwert, bei dem

\frac{0}{0}

oder

\frac{\infty}{\infty}

herauskommt?

anonymous

17:14 Uhr, 14.12.2003

Nun, es geht ganz grob gesagt um Grenzwerte. Die übliche Grenzwertbestimmung setzt ich einfach mal voraus.
Unter anderem die Tatsache, dass der Grenzwert eines Quotienten gleich dem Grenzwert des Zählers durch den Grenzwert des Nenners dargestellt werden kann.
lim x->a f(x)/g(x) = lim x->a f(x) / lim x->a g(x)

Jetzt kann es aber passieren, dass der so gefundene Grenzwert ein unbestimmter Ausdruck ist.

Unbestimmte Ausdrücke sind beispielsweise:
0/0 oder oo/oo [oo soll ein Unendlichzeichen symbolisieren] oder 0*oo

Konvergiert also Zähler und Nenner beispielsweise gegen Null, so muss die Regel von l´Hospital angewand werden.

Diese besagt: lim x->a f(x)/g(x) = lim x->a f´(x)/g´(x)

D.h., dass der Grenzwert des Quotienten gleich dem Grenzwert der ersten Ableitung des Zählers durch die Ableitung des Nenners ist.
!! Beim Ableiten keine Quotientenregel benutzen! Zähler und Nenner werden getrennt voneinander abgeleitet !!

Wenn der neue Grenzwert wieder ein unbesimmter Ausdruck ist, ist das Verfahren zu wiederholen.

Bsp.: h(x)= sin(2x)-2*sin(x)/(2e^x-x²-2x-2)
Dann sei f(x):= sin(2x)-2*sin(x)
und sei g(x):= 2e^x -x² -2x -2

lim x->0 h(x) = lim x->0 f(x) / lim x->0 g(x)
NR:
lim x->0 sin(2x)-2*sin(x) = 0
lim x->0 2e^x -x² -2x -2 = 0

Dann folgt daraus: lim x->0 h(x) = 0/0 Und das ist nicht definiert!

Also anwenden von l´Hospital:
NR:
f(x)= sin(2x)-2*sin(x)
f´(x)= 2*cos(2x)-2*cos(x)
f´´(x)= -4*sin(2x)+2*sin(x)
f´´´(x)= -8*cos(2x)+2*cos(x)

g(x)= 2e^x -x² -2x -2
g´(x)= 2e^x -2x -2
g´´(x)= 2e^x -2
g´´´(x)= 2e^x

Dann folgt:

\lim_{x \to 0} h (x) = \lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{\lim_{x \to 0} f (x)}{\lim_{x \to 0} g (x)} = \frac{\lim_{x \to 0} \sin (2 x) - 2 \cdot \sin (x)}{\lim_{x \to 0} 2 \cdot e^{x} - x^{2} - 2 x - 2} (= \frac{0}{0}) = \frac{\lim_{x \to 0} f^{'} (x)}{\lim_{x \to 0} g^{'} (x)} = \frac{\lim_{x \to 0} 2 \cdot \cos (2 x) - 2 \cdot \cos (x)}{\lim_{x \to 0} 2 \cdot e^{x} - 2 x - 2} (= \frac{0}{0}) = \frac{\lim_{x \to 0} f^{''} (x)}{\lim_{x \to 0} g^{''} (x)} = \frac{\lim_{x \to 0} - 4 \cdot \sin (2 x) + 2 \cdot \sin (x)}{\lim_{x \to 0} 2 \cdot e^{x} - 2} (= \frac{0}{0}) = \frac{\lim_{x \to 0} f^{'''} (x)}{\lim_{x \to 0} g^{'''} (x)} = \frac{\lim_{x \to 0} - 8 \cdot \cos (2 x) + 2 \cdot \cos (x)}{\lim_{x \to 0} 2 \cdot e^{x}} = \frac{- 6}{2} = - 3

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