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Richtige Schreibweise Supremum, Infimum bestimmen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Infimum, Maximum, Minimum, Supremum

Torra aktiv_icon

16:59 Uhr, 25.11.2020

Hallo,

ich habe eine Frage zum bestimmen von Maximum und Minimum bzw. auch Supremum und Infimum. Ich habe eine Aufgabe gegeben,

z . B,

{x + \frac{1}{x} | \frac{1}{2} < x \leq 2}

Nun ist es mir klar, dass das Minimum (und somit auch das Infimum) bei 2 liegen muss, für

x = 1

. So kann ich aber leider nicht argumentieren. Wie würdet ihr das mathematisch aufschreiben?
Ich habe so angefangen

\frac{1}{2} < x \leq 2

\frac{1}{2} \leq \frac{1}{x} < 2

Jedoch bringt mich das meiner Meinung nach ja nicht wirklich weiter.

Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Extrema / Terrassenpunkte

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

michaL aktiv_icon

18:41 Uhr, 25.11.2020

Hallo,

dass

f (1) = 2

(für

f : x \mapsto 1 + \frac{1}{x}

) ist klar.

Nun nehmen wir irgendein

h

her, sodass

\frac{1}{2} < 1 + h \leq 2

gilt.

Es folgt:

f (1 + h) = 1 + h + \frac{1}{1 + h} = \frac{(1 + h)^{2} + 1}{1 + h} = \frac{2 + 2 h + h^{2}}{1 + h} = \frac{2 + 2 h}{1 + h} + \frac{h^{2}}{1 + h} = 2 + \frac{h^{2}}{1 + h} > 2

.

Damit ist klar, dass sogar

min {1 + \frac{1}{x} ∣ \frac{1}{2} < x \leq 2} = 2

gilt. Dann natürlich auch

inf {1 + \frac{1}{x} ∣ \frac{1}{2} < x \leq 2} = 2

. (Weißt du, wo der Unterschied zwischen den beiden ist?)

Die "andere" Seite ist etwas komplizierter. Vor allem kann man sich auf eine Seite (links oder rechts der 1) konzentrieren, da für

z = 1 / x

offenabr

f (x) = f (z)

gilt. (Ok, für

x = 2

oder

x = \frac{1}{2}

muss gesondert betrachten werden.)

Dann reicht es aus nachzuweisen, dass

f

monoton steigend in

[1; 2]

ist, um zu wissen, dass Das Supremum und das Maximum gleich

f (2) = 2, 5

gilt.

Mfg Michael

Torra aktiv_icon

19:30 Uhr, 25.11.2020

Hallo,

erstmal vielen Dank für deine Antwort!

Ich habe es so verstanden, dass das Minimum bzw. das Maximum mit in der Funktion enthalten sein müssen, während das Infimum und Supremum auch ein Grenzwert sein können, an den die Funktion annähert. Also jedes Minimum ist auch ein Infimum.
Verstehe ich das jetzt richtig, dass du direkt das erste

x = 1

nimmst, sodass du quasi nur noch

x \to 1 + \frac{1}{x}

hast und nicht mehr

x \to x + \frac{1}{x}

?
Für das Monotonieverhalten sage ich dann doch einfach, dass

1 \leq f (x) \leq f (x + 1)

gilt und es daher monoton steigend ist.

Viele Grüße

ledum aktiv_icon

13:00 Uhr, 26.11.2020

Hallo

f (x)

ist in dem Bereich stetig. also nimmt es entweder Max und Min auf dem Rand an, oder hat ein lokales Min mit

f' (x) = 0

das liegt hier bei

x = 1

und ist ein Minimum , dann muss man noch die 2 Randpunkte ansehen um das

max

oder super zu bestimmen. beide Werte ergeben

2,5

aber

\frac{1}{2}

gehört nicht dazu also ist

max = \supset

bei

x = 2

.
ledum

Torra aktiv_icon

11:42 Uhr, 27.11.2020

Vielen Lieben Dank für eure Hilfe, ich habe es jetzt verstanden

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