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Rotation vom Kreuzprodukt zweier Vektorfelder

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: divergenz, Produktregel, Rotation, Skalarprodukt, Vektorraum

isThatHim aktiv_icon

17:01 Uhr, 18.10.2018

Hallo,
ich arbeite gerade an folgender Aufgabe:
Man zeige:

r o t (\vec{F} \times \vec{G}) = \vec{F} d i v (\vec{G}) - \vec{G} d i v (\vec{F}) + (\vec{G} \cdot \vec{\nabla}) \vec{F} - (\vec{F} \cdot \vec{\nabla}) \vec{G}

für

F, G : ℝ^{3} \to ℝ^{3}

stetig differenzierbar.

Habe bis jetzt folgenden Ansatz (Auch auf Vektorfelder anwendbar?)
Graßmann Identität (G.I.):

\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}

Damit folgt:

r o t (\vec{F} \times \vec{G}) = \vec{\nabla} \times (\vec{F} \times \vec{G}) \overset{G . I .}{=} (\vec{\nabla} \cdot \vec{G}) \vec{F} - (\vec{\nabla} \cdot \vec{F}) \vec{G}

Nun denke ich, dass der Differentialoperator auf "Alles rechts von ihm" angewendet wird.
Allerdings bin ich mir unsicher, wie sich das genau auswirkt. Es steht ja folgendes da:

(\vec{\nabla} \cdot \vec{G}) \vec{F} - (\vec{\nabla} \cdot \vec{F}) \vec{G} = 〈 \vec{\nabla}, \vec{G} 〉 \vec{F} - 〈 \vec{\nabla}, \vec{F} 〉 \vec{G}

Falls das gilt, wie macht man an der Stelle weiter? Oder ist der Ansatz an sich schon komplett falsch?

Vielen Dank im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DerDepp aktiv_icon

14:37 Uhr, 19.10.2018

Hossa :-)

Ich würde erstmal die 3 Komponenten hinschreiben:

{rot}_{1} (\vec{F} \times \vec{G}) = \partial_{2} (\vec{F} \times \vec{G})_{3} - \partial_{3} (\vec{F} \times \vec{G})_{2} = \partial_{2} (F_{1} G_{2} - F_{2} G_{1}) - \partial_{3} (F_{3} G_{1} - F_{1} G_{3})

{rot}_{2} (\vec{F} \times \vec{G}) = \partial_{3} (\vec{F} \times \vec{G})_{1} - \partial_{1} (\vec{F} \times \vec{G})_{3} = \partial_{3} (F_{2} G_{3} - F_{3} G_{2}) - \partial_{1} (F_{1} G_{2} - F_{2} G_{1})

{rot}_{3} (\vec{F} \times \vec{G}) = \partial_{1} (\vec{F} \times \vec{G})_{2} - \partial_{2} (\vec{F} \times \vec{G})_{1} = \partial_{1} (F_{3} G_{1} - F_{1} G_{3}) - \partial_{2} (F_{2} G_{3} - F_{3} G_{2})

Dann die Produktregel anwenden:

{rot}_{1} (\vec{F} \times \vec{G}) = \partial_{2} F_{1} \cdot G_{2} + F_{1} \partial_{2} G_{2} - \partial_{2} F_{2} \cdot G_{1} - F_{2} \partial_{2} G_{1} - \partial_{3} F_{3} \cdot G_{1} - F_{3} \partial_{3} G_{1} + \partial_{3} F_{1} \cdot G_{3} + F_{1} \partial_{3} G_{3}

{rot}_{2} (\vec{F} \times \vec{G}) = \partial_{3} F_{2} \cdot G_{3} + F_{2} \partial_{3} G_{3} - \partial_{3} F_{3} \cdot G_{2} - F_{3} \partial_{3} G_{2} - \partial_{1} F_{1} \cdot G_{2} - F_{1} \partial_{1} G_{2} + \partial_{1} F_{2} \cdot G_{1} + F_{2} \partial_{1} G_{1}

{rot}_{3} (\vec{F} \times \vec{G}) = \underset{A}{\underset{⎵}{\partial_{1} F_{3} \cdot G_{1}}} + \underset{B}{\underset{⎵}{F_{3} \partial_{1} G_{1}}} - \underset{C}{\underset{⎵}{\partial_{1} F_{1} \cdot G_{3}}} - \underset{D}{\underset{⎵}{F_{1} \partial_{1} G_{3}}} - \underset{C}{\underset{⎵}{\partial_{2} F_{2} \cdot G_{3}}} - \underset{D}{\underset{⎵}{F_{2} \partial_{2} G_{3}}} + \underset{A}{\underset{⎵}{\partial_{2} F_{3} \cdot G_{2}}} + \underset{B}{\underset{⎵}{F_{3} \partial_{2} G_{2}}}

Die Ergebnisse wie oben eingezeichnet etwas umordnen:

{rot}_{1} (\vec{F} \times \vec{G}) = \overset{A}{\overset{⎴}{(G_{2} \partial_{2} + G_{3} \partial_{3}) F_{1}}} + \overset{B}{\overset{⎴}{F_{1} (\partial_{2} G_{2} + \partial_{3} G_{3})}} - \overset{C}{\overset{⎴}{G_{1} (\partial_{2} F_{2} + \partial_{3} F_{3})}} - \overset{D}{\overset{⎴}{(F_{2} \partial_{2} + F_{3} \partial_{3}) G_{1}}}

{rot}_{2} (\vec{F} \times \vec{G}) = (G_{1} \partial_{1} + G_{3} \partial_{3}) F_{2} + F_{2} (\partial_{1} G_{1} + \partial_{3} G_{3}) - G_{2} (\partial_{1} F_{1} + \partial_{3} F_{3}) - (F_{1} \partial_{1} + F_{3} \partial_{3}) G_{2}

{rot}_{3} (\vec{F} \times \vec{G}) = (G_{1} \partial_{1} + G_{2} \partial_{2}) F_{3} + F_{3} (\partial_{1} G_{1} + \partial_{2} G_{2}) - G_{3} (\partial_{1} F_{1} + \partial_{2} F_{2}) - (F_{1} \partial_{1} + F_{2} \partial_{2}) G_{3}

Darin erkennt man gut die Symmetrie und kann noch weiter umformen:

{rot}_{1} (\vec{F} \times \vec{G}) = \overset{A}{\overset{⎴}{(\vec{G} \vec{\nabla}) F_{1} - G_{1} \partial_{1} F_{1}}} + \overset{B}{\overset{⎴}{F_{1} (\vec{\nabla} \cdot \vec{G}) - F_{1} \partial_{1} G_{1}}} - \overset{C}{\overset{⎴}{G_{1} (\vec{\nabla} \cdot \vec{F}) + G_{1} \partial_{1} F_{1}}} - \overset{D}{\overset{⎴}{(\vec{F} \vec{\nabla}) G_{1} + F_{1} \partial_{1} G_{1}}}

{rot}_{2} (\vec{F} \times \vec{G}) = (\vec{G} \vec{\nabla}) F_{2} - G_{2} \partial_{2} F_{2} + F_{2} (\vec{\nabla} \cdot \vec{G}) - F_{2} \partial_{2} G_{2} - G_{2} (\vec{\nabla} \cdot \vec{F}) + G_{2} \partial_{2} F_{2} - (\vec{F} \vec{\nabla}) G_{2} + F_{2} \partial_{2} G_{2}

{rot}_{3} (\vec{F} \times \vec{G}) = (\vec{G} \vec{\nabla}) F_{3} - G_{3} \partial_{3} F_{3} + F_{3} (\vec{\nabla} \cdot \vec{G}) - F_{3} \partial_{3} G_{3} - G_{3} (\vec{\nabla} \cdot \vec{F}) + G_{3} \partial_{3} F_{3} - (\vec{F} \vec{\nabla}) G_{3} + F_{3} \partial_{3} G_{3}

Man sieht schön, dass sich die "Zusatzterme" unter A und C sowie unter B und D gegenseitig wegheben, sodass gilt:

rot (\vec{F} \times \vec{G}) = (\vec{G} \vec{\nabla}) \vec{F} + \vec{F} (\vec{\nabla} \vec{G}) - \vec{G} (\vec{\nabla} \vec{F}) - (\vec{F} \vec{\nabla}) \vec{G}

isThatHim aktiv_icon

16:17 Uhr, 19.10.2018

Woah, Hammer!
Vielen Dank für deine Mühe.
Freut mich, dass du es so ausführlich für mich aufgeschrieben hast :-)

Kann alles perfekt nachvollziehen.
Obwohl ich deine Antwort sehr gut finde, frage ich mich dennoch, ob es auch noch eine eben so zielführende, aber vielleicht kürzere Methode gibt?

Ich hab persönlich das Gefühl, dass man insbesondere bei den ganzen Vektorfeld Identitäten aufgrund des Mischens von Vektorrechnung und Differentialrechnung oft Komponentenweise und Schritt für Schritt alles ausrechnen muss. Täuscht das?

Außerdem noch eine weitere Frage: Gibt es eine Möglichkeit, deine Antwort in Latex Code zu kopieren?

Vielen Dank!

DerDepp aktiv_icon

17:06 Uhr, 19.10.2018

Hossa :-)

Leider kenne ich auch keine Möglichkeit, den Latex-Code hier zu kopieren. Das würde ich mir auch sehr wünschen.

Bei den Vektorfeld-Identitäten kann ich dir allerdings weiterhelfen. Es gibt einen einfachen Trick: Wende die Produktregel an, merke dir, worauf der Nabla-Operator wirkt, forme alle Terme nach den Regeln der Vektoralgebra so um, dass der Nabla-Operator unmittelbar links von dem Objekt steht, auf das er wirkt. Wichtig dabei ist, den Nabla-Operator als normalen Vektor zu behandeln. Dein Problem aus diesem Thread dazu als Beispiel:

\vec{\nabla} \times (\vec{F} \times \vec{G}) = \vec{\nabla} \times (\underset{↑}{\underset{⎵}{\vec{F}}} \times \vec{G}) + \vec{\nabla} \times (\vec{F} \times \underset{↑}{\underset{⎵}{\vec{G}}})

(Produktregel und merken, worauf Nablba wirkt)

Mittels der "Deo-Regel" der Vektoralgebra,

\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b} (\vec{a} \vec{c}) - \vec{c} (\vec{a} \vec{b})

, wird daraus:

\vec{\nabla} \times (\vec{F} \times \vec{G}) = \underset{↑}{\underset{⎵}{\vec{F}}} (\vec{\nabla} \vec{G}) - \vec{G} (\vec{\nabla} \underset{↑}{\underset{⎵}{\vec{F}}}) + \vec{F} (\vec{\nabla} \underset{↑}{\underset{⎵}{\vec{G}}}) - \underset{↑}{\underset{⎵}{\vec{G}}} (\vec{\nabla} \vec{F})

Zwei Nablas stehen schon direkt vor "ihrem" Objekt. Jetzt noch etwas Vektoralgebra und wir sind fertig:

\vec{\nabla} \times (\vec{F} \times \vec{G}) = (\vec{G} \vec{\nabla}) \underset{↑}{\underset{⎵}{\vec{F}}} - \vec{G} (\vec{\nabla} \underset{↑}{\underset{⎵}{\vec{F}}}) + \vec{F} (\vec{\nabla} \underset{↑}{\underset{⎵}{\vec{G}}}) - (\vec{F} \vec{\nabla}) \underset{↑}{\underset{⎵}{\vec{G}}}

isThatHim aktiv_icon

23:09 Uhr, 19.10.2018

Hallo DerDepp,
danke nochmal für die Antwort. Schade, dass das mit dem Latex nicht geht :C

Ich will jetzt sicherstellen, dass ich den kurzen Lösungsweg zu 100% verstehe.
Ich nutze um auszudrücken, dass sich

\vec{\nabla}

z.B. auf

\vec{A}

bezieht, folgende Notation:

\vec{\nabla_{A}}

.

Damit folgt ingesamt:

\vec{\nabla} \times (\vec{F} \times \vec{G}) = \vec{\nabla_{F}} \times (\vec{F} \times \vec{G}) + \vec{\nabla_{G}} \times (\vec{F} \times \vec{G})

Die "Deo-Formel" von der du sprichst, ist doch gleich der Graßmann-Identität, oder?

\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} = 〈 \vec{a}, \vec{c} 〉 \vec{b} - 〈 \vec{a}, \vec{b} 〉 \vec{c}

D.h.

s k a l a r p r o d u k t (\vec{a}, \vec{c})

und

s k a l a r p r o d u k t (\vec{a}, \vec{b})

mit jeweils "normalem" Produkt mit

\vec{b}

und

\vec{c}

.

Wenn ich die Graßmann-Identität dann verwende, ergibt sich folgendes:

\vec{\nabla} \times (\vec{F} \times \vec{G}) = (\vec{\nabla_{F}} \cdot \vec{G}) \vec{F} - (\vec{\nabla_{F}} \cdot \vec{F}) \vec{G} + (\vec{\nabla_{G}} \cdot \vec{F}) \vec{G} - (\vec{\nabla_{G}} \cdot \vec{G}) \vec{F}

Da das Skalarprodukt kommutativ ist (auch für

\vec{\nabla}

?), tausche ich einfach

(\vec{\nabla_{F}} \cdot \vec{G}) \vec{F}

(\vec{G} \cdot \vec{\nabla_{F}}) \vec{F}

und

(\vec{\nabla_{G}} \cdot \vec{F}) \vec{G}

(\vec{F} \cdot \vec{\nabla_{G}}) \vec{G}

.

Damit ergibt sich am Ende:

\vec{\nabla} \times (\vec{F} \times \vec{G}) = (\vec{G} \cdot \vec{\nabla_{F}}) \vec{F} - (\vec{\nabla_{F}} \cdot \vec{F}) \vec{G} + (\vec{F} \cdot \vec{\nabla_{G}}) \vec{G} - (\vec{\nabla_{G}} \cdot \vec{G}) \vec{F}

Ich finde die Notationen mit

\cdot, \times

und mal komplett ohne total verwirrend :'D

Hoffe es ist am Ende so okay :-)

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