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Sattelpunkt & Bestimmung einer Funktionsgleichung

Schüler

Tags: Ganzrationale Funktion 3. Grades, Parabelgleichung, Sattelpunkt

lilly25 aktiv_icon

14:28 Uhr, 18.03.2011

Ich habe ein Problem mit dem Aufstellung der Parabelgleichung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades. Gegeben sind ein Sattelpunkt

N (- 2 | 0)

und der Punkt

P (- 4 | 6)

.

Die Gleichung lässt sich mit dem Linearen Gleichungssystem

f (- 2) = 0 | 8 a + 4 b - 2 c + d = 0

f (- 2) = 0 | 8 a + 4 b - 2 c + d = 0

f (- 2) = 0 | 8 a + 4 b - 2 c + d = 0

f (- 4) = 6 | 64 a + 8 b - 4 c + d = 6

nicht lösen. Auch der Taschenrechner half hierbei nicht weiter.

Ich bitte daher um Hilfe und einen Lösungsweg für diese Aufgabe.

mlg
Lilly

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Extrema / Terrassenpunkte

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

sigma10 aktiv_icon

14:43 Uhr, 18.03.2011

Hallo lilly25,

du hast bis jetzt erst 2 Gleichungen aufgestellt. Die ersten drei Gleichungen sind äquivalent(gleich). Liefern somit keine neue Information.

Du suchst eine kubische Funktion

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

Gegeben ist ein Sattelpunkt

N (- 2 ∣ 0)

: Daraus folgt.

f (- 2) = 0

f ʹ (- 2) = 0

f ʺ (- 2) = 0

und ein Punkt

P (- 4 ∣ 6)

f (- 4) = 6

Damit hast du 4 Gleichungen für die vier Unbekannten

a, b, c, d

Du hast bei beiden Gleichung die du schon aufgestellt hast einen Fehler gemacht. (

- 2)^{3} = - 8

und

(- 4)^{3} = - 64

lilly25 aktiv_icon

16:27 Uhr, 18.03.2011

Die richtige Gleichung würde also

- 8 a + 4 b - 2 c + d = 0

- 8 a + 4 b - 2 c + d = 0

- 8 a + 4 b - 2 c + d = 0

- 64 a + 8 b - 4 c + d = 6

lauten?

Welche Schritte wären jetzt zur Lösung der Aufgabe nötig? Ich nehme an, dass ich die einzelnen Koeffizienten

(a, b, c, d)

nun miteinander addieren/subtrahieren muss?

Der GTR zeigt mir weiterhin an, dass ein mathematischer Fehler besteht. (Menü EQUA, Lineares Gleichungsystem - welcher Grad wäre hier einzustellen? Bei Grad 3 fehlt die unterste Reihe und die letzte Spalte, es sieht so aus:

. .

a | b | c | d

1
2
3

- 64 a + 8 b - 4 c + d = 6

lässt sich also nicht eingeben. - Diese Aufgabenart ist mir noch unbekannt, da wir sie erst letzte Stunde in Gruppen durchnahmen und ich nicht in der Gruppe war, die diese Aufgabenart lösen sollte.)

mlg
Lilly

sigma10 aktiv_icon

16:38 Uhr, 18.03.2011

Nein,

du hast wieder 3 gleiche Gleichungen in deinem Gleichungssystem.

du musst für die 2. und 3. Gleichung deine Funktion ableiten und dann die Werte für den Sattelpunkt einsetzen.

f ʹ (- 2) = 0

1. Ableitung

f ʺ (- 2) = 0

2. Ableitung

Ich hoffe, du weißt wie man die Ableitung einer Polynomfunktion bildet.

lilly25 aktiv_icon

16:47 Uhr, 18.03.2011

Leider weiß ich nicht, wie man die Ableitung einer Polynomfunktion bildet. Wir haben dies bisher noch nicht durchgenommen, soweit ich weiß.

sigma10 aktiv_icon

16:51 Uhr, 18.03.2011

Kann ich mir zwar nicht vorstellen aber ich rechne mal vor:

f ʹ (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c

f ʺ (x) = 6 a x + 2 b

Jetzt x Wert vom Sattelpunkt einsetzen und dann gleich Null setzen.

lilly25 aktiv_icon

17:08 Uhr, 18.03.2011

Also

f (x) = 3 a \cdot (- 2) + 2 b \cdot (- 2) + c

f (x) = 6 a \cdot (- 2) + 2 b \cdot (- 2)

f (x) = - 6 a - 4 b + c

f (x) = - 12 a - 4 b

0 = - 6 a - 4 b + c

0 = - 12 a - 4 b

- - -

Ich hoffe, ich habe jetzt nicht wieder etwas falsch gerechnet.

Was wäre nun zu tun? Setzt man diese zwei neuen Gleichungen jetzt gleich, oder stellt man sie so um, dass die eine Seite nicht länger 0 ist?

Ich habe, wie gesagt, eine solche Aufgabe bislang noch nicht gemacht und weiß nicht, inwiefern oder ob überhaupt sich das Aufstellen einer Parabelgleichung 2. Grades hierauf übertragen lässt.

mlg
Lilly

sigma10 aktiv_icon

17:15 Uhr, 18.03.2011

und wieder ein paar schnelle Flüchtigkeitsfehler:

0 = 3 a * (- 2)^{2} + 2 b * (- 2) + c

0 = 6 a * (- 2) + 2 b

Klar lässt sich das von einer Parabel übertragen. Bei einer Parabel brauchst du 3 Informationen um 3 Gleichungen aufzustellen um die Parabel zu bestimmen. Bei einer Kubischen Funktion braucht man 4 Informationen um 4 Gleichungen aufzustellen.

Schau dir nochmal die Gleichung f(−4) an. da ist auch noch ein kleiner Fehler versteckt.

lilly25 aktiv_icon

17:43 Uhr, 18.03.2011

Also lauten die Gleichungen nun:

0 = 12 a - 4 b + c

0 = - 12 a + 2 b

- - -

f (- 4) = 6

- 64 a + 16 b - 4 c + d = 6

(Stimmt es jetzt? Ich hoffe...)

- - -

Also, zu den ersten Gleichungen oben:

0 = 12 a - 4 b + c

umstellen nach

c

c = - 12 a + 4 b

Damit wäre es möglich,

(- 12 a + 4 b)

für

c

einzusetzen...

Ich weiß nicht, ob ich mich auf dem richtigen Weg befinde?

sigma10 aktiv_icon

18:00 Uhr, 18.03.2011

Ich würde beim Einsetzungsverfahren mit der Gleichung mit den wenigsten Variablen anfangen.

Vielleicht so:

1) - 8 a + 4 b - 2 c + d = 0

2) - 64 a + 16 b - 4 c + d = 6

3) + 12 a - 4 b + c = 0

4) - 12 a + 2 b = 0

4.Gleichung umstellen

b = 6 a

In 3. Gleichung einsetzen

12 a - 24 a + c = 0

und nach

c = 12 a

umstellen
in 2. Gleichung einsetzen

- 64 a + 96 a - 48 a + d = 6

und nach

d = 6 + 16 a

umstellen
in 1. Gleichung einsetzen

- 8 a + 24 a - 24 a + (6 + 16 a)

und nach

a = - \frac{6}{8}

Jetz alles wieder rückwärts einsetzen um d,c,b zu ermitteln.

Überprüfe bitte mal die Lösung mit deinem Taschenrechner.

lilly25 aktiv_icon

18:09 Uhr, 18.03.2011

Mein Taschenrechner gibt folgende Lösung aus:

f (x) = -

1/7x³ - 6/7x²

- \frac{5}{6} x + \frac{6}{7}

Deckt sich das mit der Lösung, die du festgestellt hast?

sigma10 aktiv_icon

18:19 Uhr, 18.03.2011

Nein,
eigentlich kannst du dir die Frage selber beantworten. mein

a = - \frac{3}{4}

dein

a = - \frac{1}{7} .

Offensichtlich hast du das Gleichungssystem nicht richtig in deine Rechner eingegeben.
Setz mal den Punkt P(−4|6) in deine Funktion ein um sie zu überprüfen.

lilly25 aktiv_icon

18:37 Uhr, 18.03.2011

So, ich habe jetzt

a = - \frac{3}{4}

Die vollständige Gleichung lautet laut meinem GTR:

f (x) = - \frac{3}{4}

x³

- \frac{9}{2}

x²

- 9 x - 6

sigma10 aktiv_icon

22:20 Uhr, 18.03.2011

Na,

da da hat dein Taschenrechner ja doch noch die richtige Lösung ausgespuckt. ;-)

Um Steckbriefaufgaben zu lösen musst du noch das Aufstellen der Gleichungen üben.

Auch Ableitungen sollten sitzen um gegebene Sattelpunkte(Wendepunkte), Maxima, Minima in eine Gleichung umzuformen.

Als letztes musst du noch die Lösung von linearen Gleichungssystemen üben.

Hier kannst du immer deine Lösung überprüfen. Aber das Handwerk muss sitzen.

http//www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

lilly25 aktiv_icon

22:28 Uhr, 18.03.2011

Vielen Dank für die Hilfe und die Tipps. Du hast mir wirklich sehr dabei geholfen, die Aufgabe zu lösen. :-)

Vielen Dank auch dafür, dass du mir gezeigt hast, woran ich noch arbeiten muss. Ich weiß jetzt, wo ich ansetzen muss... habe aber sicher noch viele Fragen ;-) Mir fehlen leider ein paar Grundlagen.

Morgen übe ich es noch mal durch.

Gute Nacht und noch mal lieben Dank für die Hilfe.

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