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Skalarprodukt bei nicht orthogonaler Basis

Universität / Fachhochschule

Skalarprodukte

Tags: Skalarprodukt Basis

Nixchecker-1 aktiv_icon

14:44 Uhr, 29.06.2020

Hallo zusammen,

ich stehe vor dem Problem, dass zwar in der Vorlesung besprochen wurde, wie man ein Skalarprodukt mit Orthogonaler Basis berechnet, nicht aber wie es denn im nicht orthogonalem Fall ist.

Die Aufgabe lautet wie folgt:

Berechnen Sie das Sakalrprodukt aus

v = (2, - 3) u = (1, \frac{3}{4})

aus dem

R 2

die in der Basis

a) a 1 = (1, 1) a 2 = (0,1)

b) b 1 = (2, - 1) b 2 = (1, 0)

dargestellt sind.

Nach ewigem tüfteln habe ich gemerkt, dass die Beispielaufgaben aus der Vorlesung sich alle auf orthogonale Basen beziehen und hier komme ich jetzt gar nicht mehr weiter.

Vielen Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Nick76 aktiv_icon

17:17 Uhr, 29.06.2020

Das Skalarprodukt mit kartesischer Basis lässt sich folgendermaßen schreiben:

\vec{a} \cdot \vec{b} = (a_{1} \cdot \vec{e_{1}} + a_{2} \cdot \vec{e_{2}}) \cdot (b_{1} \cdot \vec{e_{1}} + b_{2} \cdot \vec{e_{2}})

mit

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \end{matrix}), \vec{b} = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \end{matrix})

und den kanonischen Einheitsvektoren

\vec{e_{1}} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}), \vec{e_{2}} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})

Um das Skalarprodukt auf einer anderen Basis zu berechnen, muss man lediglich für

\vec{e_{1}}

und

\vec{e_{2}}

die Basisvektoren einsetzen. In der vorliegenden Aufgabe in

a)

also

a 1 = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

für

\vec{e_{1}}

und

a 2 = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})

für

\vec{e_{2}}

. Bei

b)

verfährt man analog.

Gruß

Nick

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