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Stammfunktion von x * Wurzel (1 - x^2)

Schüler

Tags: Integralrechnung, Substitution

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Kolibri100

Kolibri100 aktiv_icon

09:42 Uhr, 18.03.2018

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Hallo zusammen,

ich scheitere momentan ein wenig an folgender Aufgabe:

Bestimme die Stammfunktion von

f (x) = x \cdot

Wurzel

(1 - x^{2})

.

Ich würde in diesem Fall mit Substitution arbeiten und dabei Wurzel

(1 - x^{2})

gleich

z

setzen.
Als nächstes dann

\frac{d z}{d x} =

Ableitung von

z

. Diese müsste -x/(√(1−x2)) sein. Das ganze nun umstellen nach

d x

. Daraus folgt dann:

d x =

dz/Ableitung von

z

.

Ab da komm ich nicht mehr wirklich weiter. Muss ich auch noch

x

durch Wurzel

(1 - x^{2})

ersetzen oder nicht? Und was muss ich danach machen?

Vielen Dank schonmal und liebe Grüße
Kolibri

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

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funke_61

funke_61 aktiv_icon

10:00 Uhr, 18.03.2018

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Hallo,
substituiere nur

z = 1 - x^{2}

;-)

Kolibri100

Kolibri100 aktiv_icon

10:11 Uhr, 18.03.2018

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Danke schonmal.

Das vereinfacht die Rechnung schonmal. Es gilt nun:

d x = - \frac{1}{2 x} \cdot d z

.

Also:

x \cdot

Wurzel (z)

\cdot (- \frac{1}{2 x}) \cdot d z

.

Mein Problem momentan ist, dass ich jetzt 2 Variablen hab. Muss ich jetzt noch

x

(sowohl vorne, als auch im Bruch) mit Wurzel

(1 - z)

substituieren?

Viele Grüße

Antwort

funke_61

funke_61 aktiv_icon

10:15 Uhr, 18.03.2018

Antworten

gut,
Du hast nun also

\int x \cdot \sqrt{z} \cdot (- \frac{1}{2 x}) \cdot d z

schau Dir diesen Integranden mal genau an, denn Du musst ja noch die Variable

x

"loswerden" (hier brauchst Du nicht nochmal substituieren!)
;-)
Probiers doch mal mit "kürzen"

Kolibri100

Kolibri100 aktiv_icon

10:31 Uhr, 18.03.2018

Antworten

Ok:

f (x) = - 0,5 \cdot

Wurzel(z)

\cdot d z

Jetzt integrieren:

F (x) = - (\frac{1}{3}) \cdot

Wurzel

(z^{3}) + C

Resub.:

F (x) = - \frac{1}{3} \cdot

Wurzel

(1 - x^{6}) + C

Jedoch ergibt sich durch ableiten nicht

f (x)

. Wo hab ich mich denn verrechnet?

Liebe Grüße

Antwort

supporter

supporter aktiv_icon

10:31 Uhr, 18.03.2018

Antworten

www.integralrechner.de

Kolibri100

Kolibri100 aktiv_icon

10:32 Uhr, 18.03.2018

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Damit hatte ich es bereits versucht, hatte jedoch den Rechenweg nicht verstanden.

Antwort

Sandmann-I

Sandmann-I aktiv_icon

10:34 Uhr, 18.03.2018

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\int x \cdot \sqrt{1 - x^{2}} d x

1 - x^{2} = u

- 2 x = \frac{d u}{d x}

- 2 x \cdot d x = d u

d x = \frac{d u}{- 2 x}

\Rightarrow \int x \cdot \sqrt{1 - x^{2}} d x = \int x \cdot \sqrt{u} \frac{d u}{- 2 x} = \int x \cdot \sqrt{u} \cdot \frac{1}{- 2 x} d u

Das

x

kürtzt sich raus

\int \frac{1}{- 2} \cdot \sqrt{u} d u = - \frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u = - \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} + 1} \cdot u^{\frac{1}{2} + 1}

= - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(\frac{3}{2})} \cdot u^{\frac{3}{2}} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot u^{\frac{3}{2}} = - \frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} = - \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}}

Resubstitution

1 - x^{2} = u

:

- \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} = - \frac{1}{3} (1 - x^{2})^{\frac{3}{2}}

Und dann noch

+ c

\int x \cdot \sqrt{1 - x^{2}} d x = - \frac{1}{3} (1 - x^{2})^{\frac{3}{2}} + c

mit

c \in ℝ

Frage beantwortet

Kolibri100

Kolibri100 aktiv_icon

10:39 Uhr, 18.03.2018

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Vielen vielen Dank.

Antwort

Sandmann-I

Sandmann-I aktiv_icon

10:40 Uhr, 18.03.2018

Antworten

:-)

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