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Stammfunktion/Potential berechnen

Universität / Fachhochschule

Tags: Potential, Stammfunktion, Vektorfeld

flowerpower1234 aktiv_icon

21:30 Uhr, 15.12.2012

Hallo zusammen!

Ich habe das folgende Vektorfeld gegeben

w (x, y) = (2 x - y, - x),

wobei

U = ℝ^{2}

Zunächst habe ich die Integrabilitätsbedingung geprüft:

\frac{\partial w_{1}}{\partial y} = - 1 = \frac{\partial w_{2}}{\partial x},

also ex. eine Stammfunktion

F (x, y)

mit

F_{x} = 2 x - y

und

F_{y} = - x

Zunächst ist

F_{x} = 2 x - y \Rightarrow F = \int 2 x - y d x = x^{2} - y \cdot x + c (y)

F_{y} = - x \Rightarrow - y + c' (y) = - x \Rightarrow c' (y) = - x + y,

also

c (y) = \frac{1}{2} y^{2} - x \cdot y + C

Also ist

F (x, y) = x^{2} - 2 \cdot y \cdot x + (\frac{1}{2}) y^{2} + C

Also, ich glaub ich habe einen Fehler gemacht, denn

F_{x} (x, y) = 2 x - 2 y

und

F_{y} (x, y) = - 2 \cdot x + y

und das passt ja nicht...

Kann mir jemand helfen und mal üer die Aufgabe schauen? Danke schon mal für eure Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Stammfunktion
ln-Funktion

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smoka

21:47 Uhr, 15.12.2012

Hallo,

ich weiß nicht, was Du bei

F_{y}

gemacht hast. Es ist doch:

F_{y} = - \int x d y = - x y + c (x)

flowerpower1234 aktiv_icon

21:59 Uhr, 15.12.2012

Das versteh ich noch nicht ganz, kannst du vielleicht nochmal einen Satz dazu schreiben oder vielleicht sagen, was man als nächstes machen muss? Dann komm ich vielleicht weiter...aber danke schon mal für die Antwort.

smoka

22:15 Uhr, 15.12.2012

Es geht darum, eine Funktion

ϕ (x, y)

zu finden, für die gilt:

\nabla ϕ (x, y) = w (x, y)

. Dies Funktion nennt man Potential(funktion). Um diese zu finden, musst Du die Komponentenfunktionen von

w (x, y)

integieren. Hilft Dir das?

Gerd30.1 aktiv_icon

10:20 Uhr, 16.12.2012

Bis

F = \int (2 x - y) d x = x^{2} - x y + c (y)

ist alles richtig. Dann wird doch

F_{y} = - x + c' (y) = - x \Rightarrow c' (y) = 0 \Rightarrow c (y) = C

. Damit bist du fertig:

F = x^{2} - x y + C

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