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Stetigkeit, Sinus

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Tags: Funktion, stetig

Fabienne- aktiv_icon

21:59 Uhr, 05.08.2014

Hi,

wenn ich zeigen möchte, dass sin(1/x) im Nullpunkt nicht stetig ist, dann kann man dies ja recht leicht mit dem Folgenkriterium wiederlegen.

Ginge es auch so:

lim_{x \to 0} \sin (\frac{1}{x})

lim_{x \to \infty} \sin (x)

Und letzteres ist nicht konvergent.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

michaL aktiv_icon

02:31 Uhr, 06.08.2014

Hallo,

ich weiß nicht, ob ihr das so machen dürft.

Grundlegend ist sicher so etwas:
Betrachte die Folgen

(x_{n})_{n \in ℕ}

und

(y_{n})_{n \in ℕ}

mit

x_{n} := \frac{1}{n π}

bzw.

y_{n} := \frac{1}{\frac{π}{4} + 2 n π}

.

Sicher kannst du leicht beweisen, dass deren Limiten Null sind.
Aber was ist mit

{(\sin (\frac{1}{x_{n}}))}_{n \in ℕ}

bzw.

{(\sin (\frac{1}{y_{n}}))}_{n \in ℕ}

?

Wäre

x \mapsto \sin (\frac{1}{x})

stetig in Null, müssten die Sinuswerte der beiden obigen Folgen für beide Folgen gegen den gleichen Grenzwert konvergieren. Das ist aber nicht der Fall.

Mfg Michael

Ergänzung: Die Funktion

x \mapsto \sin (\frac{1}{x})

ist in Null (ja) nicht definiert. Insofern kann sie da auch nicht stetig sein.
Allerdings (und so habe ich die Aufgabe verstanden) ist sie in Null auch nicht stetig ergänzbar.

Fabienne- aktiv_icon

11:44 Uhr, 06.08.2014

Ja, so war es gemeint, mit dem stetig ergänzbar in Null.

Das es mit dem Folgenkriterium sehr leicht geht, ist mir bewusst. Aber ich fragte mich ja ob es auch mit obigem Versuch geht.

anonymous

12:17 Uhr, 06.08.2014

1)

Ich rate dazu, wenn du einen anderen Ausdruck meinst, auch einen anderen Bezeichner zu nutzen.
Du hast den Ausdruck

lim_{x \to 0} sin (\frac{1}{x})

Wenn du jetzt eine Substitution machst, dann bitte nicht mit dem selben Bezeichner. Sondern

z . B . :

y = \frac{1}{x}

lim_{y \to \infty} sin (y)

2)

Wie genau lautet die Aufgabe? Wenn ich dich wörtlich nehme, dann sollst du STETIGKEIT untersuchen.
Die Funktion

sin (y)

ist sicherlich immer stetig,

>

auch wenn

y

sehr groß wird,

>

auch wenn

y

gegen Unendlich tendiert.

3)

Zur Untersuchung der STETIGKEIT macht, soweit ich es bisher erahne, der Grenzübergang mit dem limes keinen Sinn.

Fabienne- aktiv_icon

12:22 Uhr, 06.08.2014

Damit der Sinus in Null stetig ist, bzw. stetigfortsetzbar, dann muss dafür ja ein Grenzwert existieren.
Aber wenn ich es mit der Substitution durchführe, dann ist der Sinus ja divergierend zwischen -1 und 1, also existiert kein Grenzwert, und somit kann man den Sinus auch nicht in Null stetig fortsetzen.

anonymous

12:27 Uhr, 06.08.2014

Ja, das kann ich nachvollziehen, und halte ich, mit meinem beschränkten Sachverstand, für formal richtig. Also wenn du das als Begründung hinschreibst, dann würdest du bei mir formal

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