Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Stetigkeit und Differenzierbarkeit nachweisen

Stetigkeit und Differenzierbarkeit nachweisen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Stetigkeit

Tags: Differentiation, Stetigkeit

MathsTom aktiv_icon

21:46 Uhr, 27.05.2014

Hallo,
ich habe

f : ℝ^{2} \to ℝ, f (x, y) = \frac{x y^{2}}{x^{2} + y^{2}}

für

(x, y) \neq (0,0)

und

f (0,0) = 0

gegeben.
Die Aufgabe ist:

1)

In welchen Punkten ist

f

stetig?

2)

In welchen Punkten ist

f

partiell differentzierbar?

3)

In welchen Punkten ist

f

differenzierbar?

Zu

1)

f

ist als Polynom (mehrdimensionales, haben solche bestimmte Namen?) überall stetig, außer möglichweise in

(0,0)

.
Wie kann man die Stetigkeit in

(0,0)

zeigen, oder widerlegen?

2)

(x, y) \neq (0,0)

ist

f

partiell differenzierbar. Hier muss man ja nur eine Variable als konstant ansehen und dann mit der Quotientenregel ableiten nach der anderen Variablen.
Aber wie ist es in

(0,0)

3)

Da habe ich noch keine Idee.

Ich bitte um Hilfe :-) Liebe Grüße,
Tom

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

DrBoogie aktiv_icon

22:46 Uhr, 27.05.2014

f

ist kein Polynom

f

ist in stetig in

(0, 0)

.
Beweis. Wegen

0 \leq \frac{∣ x y^{2} ∣}{x^{2} + y^{2}} \leq \frac{∣ x ∣ y^{2} + ∣ x ∣ x^{2}}{x^{2} + y^{2}} = ∣ x ∣

und wegen

lim_{x \to 0} ∣ x ∣ = 0

folgt

lim_{(x, y) \to 0} \frac{x y^{2}}{x^{2} + y^{2}} = 0

f

ist partiell differenzierbar nach

x

und

y

(0, 0)

nach der Definition, denn beide Grenzwerte

lim_{h \to 0} (f (h, 0) - f (0, 0)) / h = lim_{h \to 0} (\frac{h \cdot 0}{h^{2}} - 0) / h

und

lim_{h \to 0} (f (0, h) - f (0, 0)) / h = lim_{h \to 0} (\frac{x \cdot 0}{h^{2}} - 0) / h

existieren trivialerweise und sind

0

.

Über die Differenzeirbarkeit in

(0, 0)

muss ich noch nachdenken.

MathsTom aktiv_icon

23:09 Uhr, 27.05.2014

Icj finde es klasse, dass man sich so auf dich verlassen kann! Du bist super.

Laut unserem Buch ist eine Summe von Monomen ein Polynom. Ist aber nicht üblich, das sehe ich ein. Hat es denn einen anderen Namen? Oder einfach mehrdimensionales Polynom?

rundblick aktiv_icon

23:18 Uhr, 27.05.2014

?

"f ist in stetig in

(0,0)

. "

hm?

\to

(0,0)

ist

f

nicht definiert

\to

und damit fehlt ein entscheidender Teil
der Stetigkeitserfordernis (es gibt keinen Funktionswert

!)

eine andere Frage (siehe!) ist, ob/dass

f

(0,0)

hinein stetig fortgesetzt werden kann..

Shipwater aktiv_icon

23:29 Uhr, 27.05.2014

Du hast ja einen Bruch, selbst im eindimensionalen wirst du

\frac{x^{3} - x}{x^{2} + 1}

nicht als Polynom bezeichnen.
Und die totale Differentierbarkeit für

(x, y) \neq (0,0)

ist klar. Für

(x, y) = (0,0)

ist

g r a d (0,0) = (0,0)

also ist das der einzig mögliche Kandidat für die totale Ableitung.
Nun ist aber

lim_{(h_{1}, h_{2}) \to (0,0)} \frac{f (h_{1}, h_{2}) - f (0,0) - (0,0) \cdot (\begin{matrix} h_{1} \\ h_{2} \end{matrix})}{| (\begin{matrix} h_{1} \\ h_{2} \end{matrix}) |} \neq 0

weswegen die Funktion in

(0,0)

nicht vollständig differentierbar ist. Um das mit dem Grenzwert einzusehen setze die Folge

(\frac{1}{n}, \frac{1}{n})

für

(h_{1}, h_{2})

ein und schaue den Grenzwert für

n \to \infty

an.

@ rundblick:

f (0,0) = 0

ist vorausgesetzt

rundblick aktiv_icon

23:38 Uhr, 27.05.2014

.
danke, Shipwater

\to

"f(0,0)=0 ist vorausgesetzt"

.. stimmt

\to

das habe ich oben übersehen ..

MathsTom aktiv_icon

06:14 Uhr, 28.05.2014

Hallo,
es ging mir nicht um den Bruch, ich habe Zähler und Nenner getrennt betrachtet.
Wir nennen

\sum c_{n_{1} . .}

n_{k}) \cdot x_{1}^{n_{1}} x_{2}^{n_{2}} \cdot . .

\cdot x_{k}^{n_{k}}

ein Polynom. Sowas haben wir dann ja hier, also ein Bruch von Polynomen, eben eine rationale Funktion.

Dass

g r a d f

(0,0) = 0

ist, folgt aus DrBoogies Berechnungen, oder? Und in deinen Berechnungen, Shipwater, setzt du für die lineare Abbildung, die ja die Ableitung sein soll, einfach

(0,0),

also Gradf ein. Das verstehe ich soweit, denn die Ableitung ist immer die Jakobi-Matrix, oder?

Wieso ist die totale Differenzierbarkeit in

\neq (0,0)

klar?

DrBoogie aktiv_icon

07:23 Uhr, 28.05.2014

"Dass gradf In (0,0)=0 ist, folgt aus DrBoogies Berechnungen, oder?"

Ja. :-)

"Das verstehe ich soweit, denn die Ableitung ist immer die Jakobi-Matrix, oder?"

Wenn sie existiert, dann ja.

Ich würde übrigens ein bisschen anders argumentieren.
Wenn

f

(0, 0)

differenzierbar wäre, wäre die Ableitung

0

(als Abbildung

ℝ^{2} \to ℝ

), nach oben Gesagtem. Dann müsste aber auch jede Richtungsableitung

0

sein, aber die Ableitung in Richtung

(1, 1)

ist nicht

0

\frac{f (h, h) - f (0, 0)}{h} = \frac{h^{3}}{2 h^{2} \cdot h} = \frac{1}{2} = > lim_{h \to 0} \frac{f (h, h) - f (0, 0)}{h} = \frac{1}{2}

.

"Wieso ist die totale Differenzierbarkeit in ≠(0,0) klar?"

Es gibt so einen Satz: wenn partielle Ableitungen stetig sind, ist die Funktion differenzierbar.

Shipwater aktiv_icon

10:21 Uhr, 28.05.2014

Oft definiert man Richtungsableitungen nur für normierte Richtungen, wenn du hier also

(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})

als Richtungsvektor wählst, landest du auch bei

\frac{1}{2 \sqrt{2}}

so wie es bei meiner Rechnung oben rauskommen würde, so viel mal nur zur Analogie :-)

MathsTom aktiv_icon

19:38 Uhr, 28.05.2014

Ok, soweit so gut, danke euch :-)
Nun ist

| | \cdot | |

eine beliebige Norm auf

ℝ^{2}

und

S = {x \in ℝ^{2} | | | x | | = 1}

. Gegeben ist

f : S \to ℝ

mit

f (- x) = - f (x)

für alle

x

F : ℝ^{2} \to ℝ

ist durch

F (x) := | | x | | f (\frac{x}{| | x | |}),

falls

x \neq 0

und

F (0) = 0

gegeben.
Man soll zeigen, dass für alle

0 \neq v \in ℝ^{2}

die Richtungsableitung von

F

an der Stelle

0

in Richtung

v

existiert und diese angeben.

Zur Info, was bei uns die Richtungsableitung ist:

(D_{v} f) (x) = lim_{t \to 0} \frac{f (x + t v) - f (x)}{t} = (g r a d f) (x) \cdot v

.

Für

x = 0

komme ich auf

(D_{v} f) (0) = F (v)

.
Für

x \neq 0

komme ich bei

lim_{t \to 0} \frac{| | x + t v | | f (\frac{x + t v}{| | x + t v | |}) - | | x | | f (\frac{x}{| | x | |})}{t}

nicht weiter.

Shipwater aktiv_icon

11:08 Uhr, 29.05.2014

Ich verstehe deine Fallunterscheidung nicht, du sollst doch nur

x = 0, v \neq 0

betrachten.

MathsTom aktiv_icon

12:53 Uhr, 29.05.2014

Ja schon, aber ich hab mich gefragt, ob man das auch für die anderen

x

so berechnen kann. Naja, lassen wir das :-)
Hat es einen Grund, wieso

v \neq 0

? Ich sehe nicht, wieso

v = 0

Probleme machen sollte.

Zeigen Sie, dass

F

genau dann an der Stelle 0 differenzierbar ist, wenn eine lineare Abbildung

A : ℝ^{2} \to ℝ

existiert, so dass

f (x) = A x

für alle

x \in S

.

Die Rückrichtung habe ich:
Es ist dann

F (x) = A x,

wenn

x \neq 0

und

F (0) = 0

(Das folgt aus der Linearität,

| | x | |

und

\frac{1}{| | x | |}

kürzen sich.
Nun ist

F (h) - F (0) = A h,

also ist

D F = A

.

Die Rückrichung bereitet mir kummer ;-)

Wenn

F

In 0 diff'bar ist, dann ist

F (h) - F (0) = | | h | | f (\frac{h}{| | h | |}) = A h + r (h),

wobei

lim_{h \to 0} \frac{| r (h) |}{| | h | |} = 0, A = F' (x)

DrBoogie aktiv_icon

13:23 Uhr, 29.05.2014

"Ja schon, aber ich hab mich gefragt, ob man das auch für die anderen x so berechnen kann."

Kann man nicht.

"Hat es einen Grund, wieso v≠0? Ich sehe nicht, wieso v=0 Probleme machen sollte."

Richtungsableitung ist nur für

v \neq 0

definiert. Für

v = 0

gibt ja keine Richtung.

DrBoogie aktiv_icon

13:30 Uhr, 29.05.2014

Nutze die Richtungsableitungen, welche Du schon berechnet hast.

MathsTom aktiv_icon

13:36 Uhr, 29.05.2014

Ich finde unsere Definition merkwürdig.
Wir haben es für Vektoren

v

mit Betrag 1 definiert. In der Aufgabe wird es nun aber für beliebige Vektoren auf die gleiche Weise definiert. Eigentlich müsste man ja noch durch den Betrag teilen. Naja, ich mach es so, wie es auf dem Blatt definiert ist.

Inwiefern helfen mir die Richtungsableitungen weiter?

DrBoogie aktiv_icon

13:48 Uhr, 29.05.2014

Richtungsableitung von

F

in Richtung

v

ist gleich

g r a d (F) \cdot v

(Skalarprodukt), also wenn Du meinst, dass die Richtungsableitung andererseits

F (v)

ist, hast direkt den Beweis, dass

F

linear ist.

MathsTom aktiv_icon

16:06 Uhr, 29.05.2014

Aber es soll doch

f (x) = A x

gelten, und nicht

F

. Inwiefern passt das denn?

DrBoogie aktiv_icon

16:13 Uhr, 29.05.2014

Wenn Du weißt, dass

F

differenzierbar ist, weißt Du zuerst mal nichts über irgendwelche

A

. Du musst

A

noch passend definieren.
Und wenn Du gezeigt hast, dass

F (v) = g r a f (F) \cdot v

, dann siehst Du auch, wie die passende

A

aussehen soll, sie muss ja

A v = g r a d (F) \cdot v

erfüllen. Was glaubst Du, wie sieht denn

A

aus? ;-)

MathsTom aktiv_icon

16:21 Uhr, 29.05.2014

A ist eine

1 x 2

Matrix mit den partiellen Ableitungen als Einträgen, also

A = g r a d F

.
Aber ich verstehe noch nicht, wie das bei der Lösung hilft. Wir haben ja eine Abbildung

F

definiert, die von einer Abbildung

f

anhängt. Aber es soll ja

f (x) = A x

gelten und nicht

F (x) = A x

DrBoogie aktiv_icon

16:37 Uhr, 29.05.2014

Für alle

x

aus

S

(und

f

ist auch nur dort definiert) gilt

F (x) = f (x)

.
Also wenn

F (x) = A x

, dann definitiv auch

f (x) = A x

MathsTom aktiv_icon

17:07 Uhr, 29.05.2014

Ok, das sehe ich ein.
Woher weiß ich eigentlich, dass

g r a d F

existiert? Dazu müssten ja die partiellen Ableitungen existieren. Und das tun sie, da

f

total diff'bar ist?

Ich weiß also nun

f (x) = A x, A = g r a d F

. Aber wieso ist A linear? Also A induziert eine lineare Abbildung

x \mapsto A x,

aber das ist ja grade

f

DrBoogie aktiv_icon

17:15 Uhr, 29.05.2014

"Woher weiß ich eigentlich, dass gradF existiert?"

Weil

F

differenzierbar ist, nach Annahme.
Es gilt immer: differenzierbar

= >

existiert grad.

"Dazu müssten ja die partiellen Ableitungen existieren. Und das tun sie, da f total diff'bar ist?"

Ja, total differenzierbar

= >

existieren partielle Ableitungen.

"Ich weiß also nun f(x)=Ax,A=gradF. Aber wieso ist A linear?"

Echt? Du fragst mich, wieso

A x

, wo

A

eine Matrix ist, linear ist?

"Also A induziert eine lineare Abbildung x↦Ax, aber das ist ja grade f."

Der Gradient einer linearen Abbildung fällt mit der Abbildung zusammen. Überrascht? :-)

MathsTom aktiv_icon

19:15 Uhr, 29.05.2014

Ich bin nun erstmal wieder bei der Rückrichtung. Was wäre denn

F' (0)

? Das wäre doch

F' (0) = A,

oder? Man folgert ja

F = A

in der Rückrichtung. Man kann dann ja sogar folgern, dass

F' (x)

für alle

x \in ℝ^{2}

existiert, oder?

Meine Frage zur Hinrichtung ist wohl nicht klar geworden:
Wir haben also

f (v) = (g r a d F) (0) v

für alle

v \in S

und wir haben

(g r a d F) (0) = A

gesetzt. Bei und sind Vektoren im

ℝ^{n}

immer Zeilenvektoren (jedenfalls in Analysis), also ist der Gradient auch ein Zeilenvektor, also eine

1 x 2

Matrix.
Man kann den Gradienten, und das ist denke ich üblicher, aber auch also Spaltenvektor sehen, dass ist A eine

2 x 1

Matrix.

Im ersten Fall induziert A aber eine (lineare) Abbildung

ℝ^{2} \to ℝ,

im 2. Fall eine

A

ℝ \to ℝ^{2}

. Wenn man das so wie im 2. Fall definiert, hätte man doch aber ein Problem bei dieser Aufgabe, da A von

ℝ^{2}

nach

ℝ

gehen soll.

Kann vielleicht jemand diese Verwirrung beseitigen?

DrBoogie aktiv_icon

08:04 Uhr, 30.05.2014

"Kann vielleicht jemand diese Verwirrung beseitigen?"

Ja, das kannst Du, indem Du endlich selber was lernst und nicht wartest, dass Dir alles vorgekaut wird.
Wenn Du mindestens den Wiki-Artikel gelesen hättest, wüsstest Du, dass die Ableitung eine Funktion

ℝ^{2} \to ℝ

auch einer Funktion

ℝ^{2} \to ℝ

ist (und ich habe es übrigens auch schon geschrieben).
Und wie Ihr Vektoren geschrieben habt - als Zeilen, Spalten, diagonalerweise, im Uhrzeigersinn oder chaotisch über die Tafel verteilt - was spielt das für eine Rolle? Wichtig ist nur, wie die Abbildungen definiert und nicht wie Vektoren geschrieben werden. Wenn ich einen Zeilenvektor

(a, b)

habe und

(a, b) \cdot v

schreibe, ist es dasselbe wie wenn ich

(a, b)

als Spaltenvektor schreibe und ihn als Matrix auf

v

anwende:

(a, b) \cdot v = (a, b)^{T} v

. Aber ich persönlich denke überhaupt nie daran, ob Vektoren "Zeilenvektoren" sind oder "Spaltenvektoren", der Unterschied ist absolut künstlich - man kann ja jede Zeit das Blatt Papier um 90 Grad drehen. Ich denke daran, was für Abbildung ich habe, alles Andere ergibt sich von alleine. Und was für Abbildung eine Ableitung ist, habe ich schon geschrieben. Und Gradient induziert als Matrix oder als Vektor aufgefasst genau dieselbe Abbildung.

Ich muss verreisen und werde in den nächsten Tagen nicht mehr helfen können, also musst Du schon selber weiter (es sei denn, hier findet sich jemand, der Lust hat, Deine endlose Verwirrungen zu entwirren, was ich bezweifle). Versuche mal selber zu schwimmen. :-)

MathsTom aktiv_icon

18:50 Uhr, 30.05.2014

Hallo,
die von dir aufgezählten Sachen sind mir ja durchaus alle bewusst, der Punkt war ein ganz anderer (der wohl immer noch nicht klar geworden ist, aber das liegt dann wohl an mir), aber das hat sich nun im Laufe des Tages geklärt. Unser Prof. hat einige Fehler aus der letzten VL richtig gestellt und nun ergibt das alles Sinn.

Was ich ehrlich gesagt nicht so glücklich finde, ist, dass du mir unterstellst, ich würde mich nicht selber informieren. Das kannst du sicher nicht beurteilen.

Ich wünsche dir einen schönen Urlaub, erhole dich gut und genieße die freie Zeit! :-)

1169484

1168868

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?