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Stetigkeit,bijektiv und monton wachsende Funktion

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: bijektiv, Intervall, Monotonie, stetig, Stetigkeit

 
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malinab

malinab aktiv_icon

19:35 Uhr, 27.05.2018

Antworten
Sei f:[a,b] → [c,d] eine bijektive und monoton wachsende Funktion zwischen abgeschlossenen reellen Intervallen. Zeigen Sie, dass f dann stetig ist.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

20:26 Uhr, 27.05.2018

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Weil f monoton wachsend ist, hat sie linksseitige und rechtsseitige Grenzwerte in allen Punkten. Wenn f also in einem α aus [a,b] nicht stetig ist, dann muss entweder limx→α-f(x)<f(c) oder f(c)<limx→α+f(x) gelten. Im ersten Fall gibt's ein Punkt β zwischen limx→α-f(x) und f(c). Für diesen Punkt gibt's kein x aus [a,b] mit f(x)=β, wegen Monotonie von f. Genauso im zweiten Fall. In beiden Fällen ist die Funktion also nicht surjektiv, damit nicht bijektiv, Widerspruch.
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