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Stoffaufwicklung auf Rolle - Formel gesucht

Universität / Fachhochschule

Funktionenfolgen

Tags: Formel, Funktionenfolgen

mathejan aktiv_icon

11:13 Uhr, 29.05.2009

Hallo!

Ich suche für folgenden Sachverhalt eine Formel:

Rolle mit 4 cm Durchmesser, auf der Stoff mit

0,3

mm Dicke aufgewickelt wird.

80 m

Stoff werden aufgewickelt. Durchmesser der Rolle nach Aufwickeln des Stoffes? Umfang wird natürlich von Lage zu Lage größer.

Nun suche ich eine Formel zur Berechnung, die diesen Sachverhalt so einfach wie möglich darstellt.

Vielen Dank!

mathejan

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

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anonymous

11:56 Uhr, 29.05.2009

Hallo,

wenn man das Problem ein wenig vereinfacht und sich vorstellt, das jede Stoffschicht ein geschlossener "Stoffring" ist, lässt sich, da der Umfang proportional zum Radius ist, das Problem recht einfach mit einer geeigneten arithmetischen Reihe modellieren, die man mit

80 m

gleichsetzt.

Gruß, Diophant

Edddi aktiv_icon

11:57 Uhr, 29.05.2009

Ich würd's vereinfacht so rechnen:

Grundumfang (Deine Rolle mit

d_{0}) : U_{0} = Π \cdot d_{0}

Alle weiteren Lagen wickeln sich spiralig auf, das heisst, das mit jeder Lage der Durchmesser um 2xDicke steigt (so auch der Umfang)

Für die 1. Lage nehm ich also Grudumfang:

U_{1} = Π \cdot d_{0}

Für die 2. Lage:

U_{2} = Π \cdot (d_{0} + 2 \cdot d)

Für die 3. Lage:

U_{3} = Π \cdot (d_{0} + 4 \cdot d)

usw.

Für

n

Lagen ergibt das einen Umfang von:

U_{G} = U_{1} + U_{2} + ... = Π \cdot (d_{0} + 0 \cdot d) + Π \cdot (d_{0} + 2 \cdot d) + Π \cdot (d_{0} + 4 \cdot d) + ... + Π \cdot (d_{0} + (n - 1) \cdot 2 \cdot d_{0})

U_{G} = Π \cdot ((d_{0} + 0 \cdot d) + (d_{0} + 2 \cdot d) + (d_{0} + 4 \cdot d) + ... + (d_{0} + (n - 1) \cdot 2 \cdot d))

U_{G} = Π \cdot (n \cdot d_{0} + (0 \cdot d) + (2 \cdot d) + (4 \cdot d) + ... + ((n - 1) \cdot 2 \cdot d))

U_{G} = Π \cdot (n \cdot d_{0} + 2 \cdot d \cdot (0 + 1 + 2 + ... + (n - 1))

U_{G} = Π \cdot (n \cdot d_{0} + n \cdot d \cdot (n - 1))

U_{G} = Π \cdot n \cdot (d_{0} + d \cdot (n - 1))

...dies kannst du jetzt nach

n

umstellen:

n^{2} + (\frac{d_{0}}{d} - 1) \cdot n - \frac{U_{G}}{Π \cdot d} = 0

n = (\frac{1}{2} - \frac{d_{0}}{2 \cdot d}) \pm \sqrt{{(\frac{d_{0}}{2 \cdot d} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{U_{G}}{Π \cdot d}}

Für dein Beispiel ist:

U_{G} = 800

d = 0,03

d_{0} = 4

n = (\frac{1}{2} - \frac{4}{2 \cdot 0,03}) \pm \sqrt{{(\frac{4}{2 \cdot 0,03} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{800}{Π \cdot 0,03}}

n = (\frac{1}{2} - \frac{4}{0,06}) \pm \sqrt{{(\frac{4}{0,06} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{800}{Π \cdot 0,03}}

n = - 66,1666 \pm 113,43 = 47,26

Lagen

...so hätt' ich's gemacht...

Jackie251 aktiv_icon

12:42 Uhr, 29.05.2009

da man weiterhin einen kriesquerschnitt hat ist der ansatz recht einfach

der Rolle die man erhält muss die Gleiche Querschnittsfläche haben, wie das Innenrohres

+

der Flächeninhalt der Seite des Stoffen

(80 m

langes aber nur

0,3

mm hohes rechteck)

es gilt:

A_{E} = A_{w} + A_{i}

A_{E} =

Fläche der Rolle am Ende

= π \cdot r_{e}^{2} (r_{e}

ist der Radius der Endrolle, also das was wir suchen)

A_{W} =

Fläche der Wicklung

= L \cdot t (

mit

L =

Länge des aufzuwickelndes Stoffes;

t =

Dicke des Stoffes)

A_{i} =

Fläche des Innenrohres

= π \cdot r_{i}^{2}

(mit

r_{i} =

Radius des Innenrohres)

π \cdot r_{e}^{2} = L \cdot t + π \cdot r_{i}^{2}

r_{e} = \sqrt{(\frac{L \cdot t}{π} + r_{i}^{2})}

randwerte dieses falles einsetzen (cm):

r_{e} = \sqrt{\frac{8000 \cdot 0,03}{π} + 2^{2}}

r_{e} = 8,97

cm

Der Enddurchmesser beträgt also

17,9

cm.

der Unterschied zu Eddis Ergebnis liegt daran das er nur mit

8 m

Länge gerechent hat.

mathejan aktiv_icon

13:46 Uhr, 29.05.2009

Dankeschön für die äußerst hilfreichen Antworten. Besonders der letzte Berechnungsansatz ist sehr einfach und verständlich.

Mathejan

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