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Tetraeder - Volumsberechnung
Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen, 12. Klassenstufe
Tags: tetraeder, Vektoren, Volumen
 
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anonymous 15:54 Uhr, 15.03.2008  |
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Von einem Tetraeder ABCD weiß man: C(0/0/0, D(5/5/0), A: liegt auf a:X= (5/-2/-3) + t* (4/-1/0) B: liegt auf b:X= (6/10/1) + s* (4/7/-4) Die Strecke AB bildet den Normalabstand der winschiefen geraden a und b. Berechne a) den Abstand AB b) das Volumen des Tetraeder Der Abstand AB ist noch kein Problem, aber hat vl. jemand ne Idee wie man das Volumen berechnen kann? |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Kugel (Mathematischer Grundbegriff) Kegel (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Raummessung Volumen einer Pyramide Volumen und Oberfläche einer Pyramide Volumen und Oberfläche eines Kegels Volumen und Oberfläche eines Prismas Volumen und Oberfläche eines Zylinders | |
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Das Volumen eines Tetraeder folgt der Formel V = 1/3 * Grundfläche * Höhe |
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anonymous 16:11 Uhr, 15.03.2008 |
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| ja das ist schon klar, aber wie berechne ich mir die grundfläche und die höhe? | |
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Hallo, ich würde mir die Aufgabe einfach machen und mal reininterpretieren, dass mit Tetraeder ein regelmäßiger Tetraeder (also einer der aus 4 gleichseitigen Dreiecken besteht) gemeint ist. Begründung: Schulaufgabe, Aufgabenstellung Damit gilt: A=1/12*sqrt(2)*a^3 , wobei a eine Seitenlänge darstellt, die du durch den Abstand ja gegeben hast. Falls du allerdings der Meinung bist, dass es sich um einen allgemeinen Tetraeder handelt, also eine dreiseitige Pyramide, musst du die Formel von fhuber verwenden. Und dann wird's komplizierter, da du die Koordinaten von A und B berechnen musst. Lösen kannst du das ganze auch über das Spatprodukt (z.B. 1/6*[AB AC AD]). Wenn du das noch nicht hattest, musst du den Flächeninhlt eines Dreiecks und über z.b. Pythagoras die Höhe berechnen. Falls du das machen willst und Probleme hast, kannst du dich ja noch mal melden. Grüße |
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anonymous 19:26 Uhr, 15.03.2008 |
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| es handelt sich um keinen "geraden" tetraeder, d.h. ich muss mir A und B ausrechnen, aber ich habe keine idee wie ich das machen kann | |
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Also kompliziert... Die Bestimmung von A und B erfolgt über die Berechnung des Abstandes eines Punktes von einer Geraden. Es wird der Punkt auf b berechnet, der den geringsten Abstand zu a hat und umgekehrt (entspricht A und B): Die Koordinaten sind dabei: A=(5+4t|-2-t|-3) B=(6+4s|10+7s|1-4s) Zuerst der Abstand von B zu a: Die Strecke einer zu a orthogonalen Geraden stellt den geringsten Abstand da, d.h. AB*u=0 (u ist der Richtungsvektor von a): Eingesetzt heißt das: 4(6+4s-(5+4t))-1*(10+7s-(-2-t))=0 4(1+4s-4t)-(12+7s+t)=0 -17t-9s-8=0 -> 1.Gleichung Abstand von A zu b: BA*v=0 4*(5+4t-(6+4s))+7(-2-t-(10+7s))-4(-3-(1-4s))=0 4(-1+4t-4s)+7(-12-t-7s)-4(-4+4s)=0 -81s+16t-72=0 -> 2.Gleichung Damit hast du zwei Gleichungen mit 2 Unbekannten, die du lösen musst: s=16/81*t-72/81 -> -17t-9(16/81t-72/81)-8=0 -17t-16/9t+8-8=0 -> t=-169/9 s=-338/81 Diese Werte kannst du jetzt in deine Geradengleichungen einsetzen und erhälst als Ergebnis die Koordinaten von A und B. Ich habe nicht weiter gerechnet, da ich aufgrund der ergebnisse glaube, irgendwo einen Fehler gemacht zu haben, obwohl ich keinen finden kann. Du solltest meine Rechnung deshalb auf jeden Fall noch mal selbst nachrechnen. Danach wird die Aufgabe recht einfach, da du nur noch die Abstände der Punkte berechnen und in die entsprechenden Formeln einsetzen musst. Grüße Edit: Dank DK2ZA hab ich jetzt auch meinen Fehler gefunden. Sollte vielleicht noch mal die Grundrechenarten wiederholen... |
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Der Punkt A auf a hat die Koordinaten ( 5+4t | -2-t | -3 ) Der Punkt B auf b hat die Koordinaten ( 6+4s | 10+7s | 1-4s )
Der Vektor AB von A nach B ist AB = ( 5+4t-6-4s | -2-t-10-7s | -2-1+4s ) = ( -1+4t-4s | -12-t-7s | -4+4s )
Wenn AB die kürzeste Verbindung zwischen a und b sein soll, dann muss AB auf den Richtungsvektoren von a und b senkrecht stehen, d.h. sein Skalarprodukt mit diesen Vektoren muss Null sein:
AB * ( 4 | -1 | 0) = 0 ( -1+4t-4s | -12-t-7s | -4+4s ) * ( 4 | -1 | 0) = 0 -9s + 17t + 8 = 0 (I)
AB * ( 4 | 7 | -4 ) = 0 ( -1+4t-4s | -12-t-7s | -4+4s ) * ( 4 | 7 | -4 ) -81s + 9t - 72 = 0 | :(-9) 9s - t + 8 = 0 (II)
(I) und (II) addieren ergibt 16t = -16 ---> t = -1 und s = -1
Damit haben wir A( 1 | -1 | -3 ) und B( 2 | 3 | 5 ).
Daraus ergibt sich die Länge der Strecke AB: Wurzelaus( (1-2)² + (-1-3)² + (-3-5)² ) = 9
Das Volumen V der Pyramide berechnet man aus den Koordinaten ihrer Eckpunkte A, B, C und D so:
a sei der Vektor von A nach B: ( 1 | 4 | 8 ) b sei der Vektor von A nach C: ( -1 | 1 | 3 ) c sei der Vektor von A nach D: ( 4 | 6 | 3 )
Dann ist
V = 1/6 * Betragvon( a skalarmultipliziertmit ( b vektoriellmultipliziertmit c ) ) V = 1/6 * | a * (b x c) | V = 1/6 * | ( 1 | 4 | 8 ) * ( ( -1 | 1 | 3 ) x ( 4 | 6 | 3 ) ) | V = 1/6 * | -35 | = 35/6
GRUSS, DK2ZA
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