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Transformationsmatrix zu Jordan Normalform

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Angewandte Lineare Algebra, basis, Eigenraum, Hauptraum, Jordan Normalform, Transformationsmatrix

daniel7 aktiv_icon

11:59 Uhr, 28.09.2015

Hallo,
ich möchte die Transformationsmatrix zu

A = (\begin{matrix} - 2 & - 3 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ - 1 & - 3 & 0 \end{matrix})

bestimmen.
Das charakteristische Polynom ist

P (X) =

-x³-3x²-3x-1
Der einzige Eigenwert mit alg. Vielchfacheit 3 ist

- 1

. Die geom. Vielfachheit ist 2.
Es ergibt sich die Jordan Normalform

J = (\begin{matrix} - 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix})

Eigenräume:
Eig

((A - X E)) = < (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}) >

Eig

((A - X E)

²)

= < (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) >

(A - X E

)² die Nullmatrix ergibt muss das doch mein Hauptraum sein.

Aus dem wähle ich mir einen

v_{3}

in Eig((

A - X E

)² ) \ Eig((

A - X E))

aus. Nehmen wir

v_{3} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

. Jetzt ist der

1 x 1

Jordanblock schon aufgebraucht und ich wähle

v_{2}

aus dem gleichen Eigenraum wie

v_{3}

. Sei

v_{2} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

v_{1} = (A - X E) = (\begin{matrix} - 3 \\ 0 \\ - 3 \end{matrix})

Setze ich nun

T = (v_{1}, v_{2}, v_{3})

zusammen und überprüfe das Ergebnis mit

A = T \cdot J \cdot T

^⁻1 stelle ich fest, dass es nicht stimmt.

Ich vermute, dass ich bei der Bestimmung der Vektoren Mist gebaut habe. Wo liegt hier mein Fehler?

Viele Grüße,
Daniel

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

DrBoogie aktiv_icon

12:10 Uhr, 28.09.2015

Ein

1 \times 1

Block entspricht einem Eigenwert, daher ist Deine Wahl von

v_{3}

falsch.

DrBoogie aktiv_icon

12:13 Uhr, 28.09.2015

Du kannst zumindest die Ergebnisse mit Wolfram anschauen:
http//www.wolframalpha.com/input/?i=jordan+normal+form+calculator

Ich vermute, dass sich auch ein online-Rechner finden lässt, der auch Zwischenschritte zeigt.