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Trichotomie

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Tags: Beweis, Trichotomie

 
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Peggy01

Peggy01 aktiv_icon

17:16 Uhr, 28.05.2008

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Hallo, wer kann mir die Trichotomie allgemein beweisen?!
Trichotomie: Zwischen a und b besteht genau einer der drei Beziehungen:
a<b
a=b
a>b

das habe ich soweit verstanden, nur wie geht der Beweis davon?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
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Antwort
hagman

hagman aktiv_icon

22:20 Uhr, 28.05.2008

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Kommt darauf an, wie die Relationen <,= und > definiert sind (naja, zumindest = sollte klar sein, aber < und > sind zu definieren!).
Der grundlegende Fall sind die natürlichen Zahlen ℕ={1,2,3,...} bzw. ℕ0={0,1,2,...}
Hier definiert man a>b⇔∃c∈ℕ:a=b+c sowie a>b⇔b<a.

Behauptung: Für a,b∈ℕ0 gilt die Trichotomie.
Zunächst: Es gilt stets mindestens eine der drei Relationen.
Beweis per Induktion nach b.
1.)b=0: Falls a=0, folgt a=b, ansonsten ist a∈ℕ und es folgt a=b+a, also a>b.
2.) Die Behauptung gelte für b; dann gilt sie auch für b+1:
Falls a=0, folgt wieder sofort a<b+1. Ansonsten gilt a=a'+1 für ein a'∈ℕ0.
Nach Voraussetzung gilt a'<b oder a'=b oder a'>b.
Im ersten Fall ist a'+c=b für ein c∈ℕ und daher auch a+c=(a'+1)+c=(a'+c)+1=b+1,d.h. a<b+1.
Im zweiten Fall ist a=a'+1=b+1.
Im dritten is a'=b+c für ein c∈ℕ und daher auch a=a'+1=(b+c)+1=(b+1)+c und folglich a>b+1.
Per Induktion folgt also, dass stets mindestens eine de Relationen a<b,a=b,a>b gilt.

Es können aber nicht zwei der Relationen gelten:
Aus a=b und a<b würde beispielsweise a+c=b=a+0 folgen mit c∈ℕ. Da in ℕ0 die Kürzungsregel für Summanden gilt, folgt hieraus c=0 im Widerspruch zu c≠0.
Derselbe Widerspruch ergibt sich zwischen a=b und a>b.
Auch a<b und a>b können nicht gleichzeitig gelten, da dann a+c=b und a=b+d für gewisse c,d∈ℕ gilt. Dann ist aber a+(c+d)=(a+c)+d=b+d=a, woraus wieder c+d=0 folgt - Widerspruch.

Somit ist die Trichotomie für ℕ0 und die oben genannten Definitionen von < und > gezeigt.

Jetzt definiere < geeignet für ℤ (und beweise Trichotomie).
Dann definiere < geeignet für ℚ (und beweise Trichotomie) und schließlich für ℝ (und beweise Trichotomie).
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