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Trigonometrische Gleichungen lösen

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Tags: Gleichungen, Lösung, Trigonometrie

michelr aktiv_icon

14:20 Uhr, 05.01.2013

Hallo zusammen ich bräuchte mal bitte einen Lösungsansatz für diese Trigonometrische Gleichung, und zwar ist nach allen Lösungen gefragt. Am meisten würde mir geholfen werden, wenn ich wüsste mit welcher Umformung ich am beste vorgehe.

2 (sin x + {cos}^{3} x) = - sin x \cdot sin 2 x

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens

rundblick aktiv_icon

14:43 Uhr, 05.01.2013

2 \cdot (sin (x) + {cos}^{3} (x)) = - sin (x) \cdot sin (2 \cdot x)

Tipp:
du kennst sicher

\to sin (2 x) = . .

.

setze das rechts ein
und verwende dann dass

\to {sin}^{2} (x) = 1 - {cos}^{2} (x)

so..
was wird dann aus deiner Bestimmungsgleichung?

\to . .

michelr aktiv_icon

17:34 Uhr, 05.01.2013

Also mit dem

sin (2 x)

kann ich gut was anfangen aber mit dem

{sin}^{2} (x) + {cos}^{2} (x) = 1

leider nicht, da ich nicht weiß wofür ich das einsetzen kann?
Ich habe da eine Vermutung das ich das mit dem

{cos}^{3} (x)

verbinden kann aber ich habe keine ahnung wie. Danke für die schnelle Hilfe ich konnte leider erst jetzt Antworten da mein Hund raus musste.
Also mein aktueller stand=

2 \cdot sin (x) + 2 \cdot {cos}^{3} (x) = - sin (x) + 2 \cdot sin (x) cos (x)

michelr aktiv_icon

17:42 Uhr, 05.01.2013

Blitzgedanke....
da ich

{cos}^{3} (x)

habe kann ich das in

cos (x) \cdot {cos}^{2} (x)

umwandeln und somit für

{cos}^{2} (x) = 1 - {sin}^{2} (x)

einsetzen, somit habe ich nun ausmultipliziert und bin zur Zeit soweit:

2 \cdot sin (x) + 2 \cdot cos (x) \cdot (1 - {sin}^{2} (x)) = - sin (x) \cdot (2 \cdot sin (x) \cdot cos (x))

ps: müssen um

1 - {sin}^{2} (x)

und

2 \cdot sin (x) cos (x)

eigentlich klammern?

rundblick aktiv_icon

17:58 Uhr, 05.01.2013

Zitat:
2⋅sin(x)+2⋅cos^3(x)=-sin(x)+2⋅sin(x)cos(x)
Ende

MANN

! -

du hast auf der rechten Seite NICHT

+

SONDERN

\cdot \to

also:
2⋅sin(x)+2⋅

{cos}^{3} (x) = - sin (x) \cdot

2⋅sin(x)cos(x)

demnach

\to

2⋅sin(x)+ 2⋅

{cos}^{3} (x) = - 2 \cdot {sin}^{2} (x) \cdot cos (x)

und wenn du lesen würdest, was man dir schreibt:
auf der RECHTEN Seite dann das

{sin}^{2} (x)

ersetzen

. .

.

aber ungelesen und nicht umgesetzt

\to

da scheint Rat ja vergeblch ..

michelr aktiv_icon

18:40 Uhr, 05.01.2013

ja das mit dem

+

hat meine Tastatur nicht die Großschreibe taste angenommen um

\cdot

anzugeben.
um kurz zu Zeigen wie weit ich bin :

\to 2 \cdot sin (x) + 2 \cdot cos (x) \cdot (1 - {sin}^{2} (x)) = - 2 \cdot cos (x) \cdot {sin}^{2} (x)

\to 2 \cdot sin (x) + 2 \cdot cos (x) - 2 \cdot {sin}^{2} (x) \cdot cos (x) = - 2 \cdot cos (x) \cdot {sin}^{2} (x)

\to 2 \cdot sin (x) + 2 \cdot cos (x) = 0

\to sin (x) + cos (x) = 0

wie komm ich nun weiter? also wie kann ich das weiter umformen? Ich lese das schon richtig, allerdings liegen mir trigonometrishe Gleichungen garnicht und ich bin über jede Hilfe dankbar in in naher ferne meine Klausur kommt

rundblick aktiv_icon

18:54 Uhr, 05.01.2013

sin (x) + cos (x) = 0

\to

sin (x) = - cos (x) ...

. und da bei dieser Gleichung

cos (x) = 0

sicher keine Lösung bringt,
kannst du also unbedenklich durch

cos (x)

teilen..

vielleicht bringt dich das, was du dann bekommst, auf neue Ideen ??

michelr aktiv_icon

19:09 Uhr, 05.01.2013

ok das habe ich verstanden, nun bin ich bei

\frac{sin (x)}{cos (x)} = tan (x) = - 1

somit hätte ich den Wert

3 \cdot \frac{π}{4}

ist das dann die Lösung?

rundblick aktiv_icon

19:13 Uhr, 05.01.2013

hm..

das ist EINE mögliche Lösung..

aber es gibt ja noch viel viel mehr weitere, andere Lösungen ..

- ob du ALLE aufschreiben kannst ?? versuchs

\to . .

michelr aktiv_icon

19:26 Uhr, 05.01.2013

also ich hätte da noch

7 \cdot \frac{π}{4}

praktisch 180° weiter. aber sonst fällt mir nichts als Lösung ein, höchstens das es sich immer wiederholt da der tan sich ja immer bei 180° wiederholt,

Danke für deine Tipps, bald kommt die nächste Gleichung glaube ich aber ich probier erstmal selbst

Gruß Michel

rundblick aktiv_icon

19:40 Uhr, 05.01.2013

"höchstens das es sich immer wiederholt "

ja , genau: du kannst durchdrehen ..
(beliebig oft im Einheitskreis)
dann bekommst du zu deinen zwei Hauptwerten nachher dies:

für alle

x = \frac{3}{4} π + k \cdot π

mit

k \in Z

wird

tan (x) = - 1

michelr aktiv_icon

19:47 Uhr, 05.01.2013

super danke, damit ist mein Tag gerettet und ich kann beruhigt die nächste Aufgabe angehen

michelr aktiv_icon

19:56 Uhr, 05.01.2013

super danke, damit ist mein Tag gerettet und ich kann beruhigt die nächste Aufgabe angehen

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