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Tschebyscheff-/ Markov-Ungleichung und Grenzwert

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Tags: Erwartungswert, Markov-ungleichung, Tschebyscheff, Unkorreliertheit, Varianz

Hinata aktiv_icon

12:33 Uhr, 16.03.2022

Hallo,
ich komme bei dieser Aufgabe nicht wirklich weiter. Ich gehe mal stark davon aus, dass man die Tschebyscheff- oder Markov-Ungleichung verwenden sollte, allerdings weiß ich nicht, wie ich den Erwartungswert von (Sn)/n berechnen kann. Eine weitere Überlegung ist, dass die Zufallsvariablen X1,X2...,Xn unkorreliert sind und somit die Varianz der Summe von ihnen die Summe der Varianzen ist. Weiter bin ich allerdings noch nicht.
Wäre über jede Hilfe dankbar!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

HAL9000

12:41 Uhr, 16.03.2022

Ja, das ist Tschebyscheff. Du musst dich ja nur die ganzen Begriffe entlanghangeln um festzustellen, dass

E ({\overline{S}}_{n}) = \frac{1}{n} \cdot E (S_{n}) = 0

sowie

V ({\overline{S}}_{n}) = \frac{1}{n^{2}} V (S_{n}) = \frac{1}{n^{2}} \sum_{i = 1}^{n} V (X_{i})

gilt. Insofern folgt laut Tschebyscheff

P (∣ {\overline{S}}_{n} ∣ \geq ε) = P (∣ {\overline{S}}_{n} - E ({\overline{S}}_{n}) ∣ \geq ε) \leq \frac{V ({\overline{S}}_{n})}{ε^{2}}

, und jetzt ist klar was bei

n \to \infty

mit der rechten Seite passiert.

Hinata aktiv_icon

12:57 Uhr, 16.03.2022

okay, danke. Eine Frage habe ich noch zu dem Schritt wo die Varianz von (Sn/n) ausgerechnet wird. Ich verstehe nicht ganz warum

V (S_{n}) =

die Summe von

V (X_{i})

ist.
Da die

X_{i}

paarweise unkorreliert sind, ist mir klar, dass(Summe

(V (X_{i})) =

Summe

(V (X_{i})),

aber

S_{n}

ist ja die Summe

(X_{i} - E (X_{i})),

also ist

E (X_{i}) = 0

für alle i? und woher weiß man das?

HAL9000

13:32 Uhr, 16.03.2022

Die Varianz einer Zufallsgröße bleibt gleich, wenn die Zufallsgröße um einen KONSTANTEN Betrag verschoben wird, d.h., es ist

V (X_{i} - a) = V (X_{i})

für alle reellen

a

. Das gilt insbesondere auch für

a = E (X_{i})

Hinata aktiv_icon

14:22 Uhr, 16.03.2022

Super, vielen Dank. Ich habe noch eine Frage zu einer ähnlichen Aufgabe, ich bin mir nicht sicher, ob es sich lohnt dafür einen neuen Post zu eröffnen. Wenn das hier Fehl am Platz ist, dass tut mir das leid. Ich stelle die Frage einfach mal:
Und zwar ist das ja wieder Tschebyscheff. Ich bin mir nicht sicher, wie ich den Erwartungswert von

S_{n}

berechne um dann

P (| S_{n} - E (S_{n}) | \geq ε) \leq \frac{V (S_{n})}{ε^{2}}

zu erhalten.
Dass

V (| S_{n} |) \leq n \cdot c

sein muss ist schonmal klar.

HAL9000

14:29 Uhr, 16.03.2022

Das basiert doch auf einer offenkundigen Varianzabschätzung, wieder der Unkorrelliertheit wegen:

V (S_{n}) = \frac{1}{n^{2}} \sum_{k = 1}^{n} V (X_{k}) \leq \frac{1}{n^{2}} \sum_{k = 1}^{n} sup_{j} V (X_{j}) = \frac{1}{n^{2}} \cdot n \cdot sup_{j} V (X_{j}) = \frac{c}{n}

.

Und dann schlicht Tschebyscheff.

Hinata aktiv_icon

14:31 Uhr, 16.03.2022

EDIT Aber man braucht doch noch den Erwartungswert von

S_{n}

im Betrag damit man Teschbyscheff anwenden kann oder? Also hier P(|S_n−E(S_n)|>=

ε)

HAL9000

15:41 Uhr, 16.03.2022

Ist dir die Bedeutung des im Aufgabentext stehenden Wortes "zentriert" geläufig? Das bedeutet

E (X_{k}) = 0

für alle

k

, und damit auch mittelbar

E (S_{n}) = 0

.

de.wikipedia.org/wiki/Zentrierung_(Statistik)

Hinata aktiv_icon

15:52 Uhr, 16.03.2022

Ahh! Das war mit tatsächlich nicht geläufig, aber jetzt wo du es sagst.. das hätte ich mir auch denken können.. Vielen lieben Dank!

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