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Umkehrfunktion von sinh (x) beweisen.

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, Sinus Hyperbolicus, Umkehrfunktion

anonymous

23:53 Uhr, 05.12.2015

Hallo,
die Umkehrfunktion von Sinus Hyperbolicus

(sinh)

lautet: arsinh

= ln (x +

√x^2+1). Um zu beweisen, dass es sich um die richtige Umkehrfunktion handelt, muss ich die Verkettung beider Funktionen durchführen und

x

rausbekommen:
sinh(arsin(x))=x & arsin(sinh

(x)) = x

Jedoch habe ich Schwierigkeiten das "x" raus zubekommen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Umkehrfunktion

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anonymous

00:00 Uhr, 06.12.2015

Bis jetzt habe ich:
sinh(arsinh(x))= 1/2(e^ln(x+√x^2+1)-e^-ln(x+√x^2+1)
= 1/2(x+√x^2+1)-(1/(x+√x^2+1)=
jetzt weiß ich nicht, wie ich das

x

rauskriege.

Mathe45

00:08 Uhr, 06.12.2015

Warum leitest du die Umkehrfunktion nicht direkt ab ?

y = sinh (x) = \frac{1}{2} \cdot (e^{x} - e^{- x})

x = \frac{1}{2} \cdot (e^{y} - e^{- y})

. .

. und jetzt nach

y

auflösen.

anonymous

00:12 Uhr, 06.12.2015

Die Umkehrfunktion habe ich schon rechnerisch rausgekriegt, jetzt muss ich aber noch zusätzlich beweisen, dass es sich hierbei um die richtige Umkehrfunktion handelt. Dabei wird von uns verlangt, dass wir die Verkettungen machen und dann

x

raus bekommen müssen.

Mathe45

00:20 Uhr, 06.12.2015

Dann wende die Def. von

sinh

an und berücksichtige, dass

e^{ln (a)} = a

ist.

Mathe45

00:23 Uhr, 06.12.2015

sinh (ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})) = \frac{1}{2} \cdot (e^{ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})} - e^{- (ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}))}) =

= \frac{1}{2} \cdot (x + \sqrt{x^{2} + 1} - \frac{1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}}) = . .

ledum aktiv_icon

00:27 Uhr, 06.12.2015

Hallo
bring das auf den Hauptnenner und klammer dann im Zähler

x

aus.
Gruß ledum

Mathe45

00:54 Uhr, 06.12.2015

Und ? Ist jetzt alles klar ?

anonymous

01:26 Uhr, 06.12.2015

also ich habe versucht es auf den hauptnenner x√x^2+1 zu bringen und habe dann

\frac{1}{2}

x^2+(x^2+1)-x+√x^2+1/(x+√x^2+1)=

\frac{1}{2}

(x^2(1+1/x^2)-x+√x^2+1/(x√x^2+1)=

Ab da weiß ich nicht mehr weiter

Mathe45

01:27 Uhr, 06.12.2015

sinh (ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})) = \frac{1}{2} \cdot (e^{ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})} - e^{- (ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}))}) =

= \frac{1}{2} \cdot (x + \sqrt{x^{2} + 1} - \frac{1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}}) = . .

. .

. und jetzt etwas Bruchrechnen.

= \frac{1}{2} \cdot (x + \sqrt{x^{2} + 1} - \frac{1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} \cdot (x^{2} + 2 \cdot x \cdot \sqrt{x^{2} + 1} + x^{2} + 1 - 1) =

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} \cdot 2 \cdot x \cdot (x + \sqrt{x^{2} + 1}) = x

anonymous

01:41 Uhr, 06.12.2015

Danke, hätte nicht gedacht, dass es auch so einfach geht.
Wenn ich nun die Verkettung von arsinh(sinh(x)) haben möchte, wäre ja mein Anfang so:
ln(1/2(e^x-e^-x)+√1/2(e^x-e^-x)+1

ln

und

e

lösen sich auf und ich hätte dann

\frac{1}{2} (x - (- x) +

√x-(-x)+1 = 1/2(2x)+√2x+1 das quadriere ich, um die wurzel nicht mehr zu haben
daraus folgt

: \frac{1}{4} \cdot 4 x^{2} + 2 x + 1 = x^{2} + 2 x + 1 =

aber da bekommt man doch nie

x

raus?

Mathe45

02:15 Uhr, 06.12.2015

Na ja, etwas Rechnerei

ln (\frac{1}{2} \cdot (e^{x} - e^{- x}) + \sqrt{\frac{1}{4} \cdot (e^{2 \cdot x} + e^{- 2 \cdot x} - 2) + 1}) = ln (\frac{1}{2} \cdot (e^{x} - e^{- x}) + \sqrt{\frac{1}{4 \cdot e^{2 \cdot x}} \cdot {(e^{2 \cdot x} + 1)}^{2}}) =

= ln (\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} \cdot (e^{2 \cdot x} + 1)) = ln (\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2} + \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}) = ln (e^{x}) = x

So, das wär's !
Gute Nacht.

Mathe45

02:27 Uhr, 06.12.2015

Und abhaken !

anonymous

09:43 Uhr, 06.12.2015

Okay, vielen Dank.

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