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Unbestimmter Grenzwert 1/0

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, grenwzert, Konvergenz

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10:57 Uhr, 26.09.2018

Ich muss den Grenzwert der folgenden Folge bestimmen:

a_{n} = - \frac{n^{16}}{n^{12} + 2 \cdot n^{2}}

Meine Vorgehensweise:

a_{n} = - \frac{n^{16}}{n^{12} + 2 \cdot n^{2}} = - \frac{n^{16}}{n^{16} \cdot (\frac{n^{12}}{n^{16}} + 2 \cdot \frac{n^{2}}{n^{16}})} = - \frac{1}{n^{- 4} + 2 \cdot n^{- 14}} = \frac{- 1}{\frac{1}{n^{4}} + \frac{2}{n^{14}}}

lim_{n \to \infty} (\frac{- 1}{\frac{1}{n^{4}} + \frac{2}{n^{14}}}) = - \frac{1}{0 + 0}

Nun bekomme ich einen unbestimmten Ausdruck:

- \frac{1}{0}

Weil die Division durch Null nicht erlaubt ist, wäre dann überhaupt ein Grenzwert vorhanden?

Ich habe die Folge gezeichnet und man sieht deutlich das sie bestimmt divergent gegen

- \infty

ist.

Aber wieso genau wenn

- \frac{1}{0}

raus kommt?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Edddi aktiv_icon

11:15 Uhr, 26.09.2018

. .

. der Zählergrad ist höher als der Nennergrad, da braucht's keine Berechnung für

n \to \infty

Wenn doch, dann:

lim_{n \to \infty} - \frac{n^{16}}{n^{12} + 2 n^{2}}

= lim_{n \to \infty} - n^{4} \frac{n^{12}}{n^{12} + 2 n^{2}}

= lim_{n \to \infty} - n^{4} \frac{n^{12}}{n^{12} (1 + 2 n^{- 10})}

= lim_{n \to \infty} - n^{4} \frac{1}{1 + 2 n^{- 10}}

= lim_{n \to \infty} - n^{4}

;-)

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11:19 Uhr, 26.09.2018

Danke für die Antwort.
Ich wollte nur wissen was macht man wenn bei Folgen als Grenzwert ein unbestimmter Ausdruck heraus kommt. Woher weiß man dass man

- \frac{1}{0}

durch

- \infty

ersetzen kann ?

ledum aktiv_icon

11:32 Uhr, 26.09.2018

Hallo
der GW ist eben NICHT

\frac{1}{0}

weil das gar nicht definiert ist, deshalb solltest du das nie hinschreiben, sondern direkt

00

sondern der GW etwa von

\frac{1}{\frac{1}{n}}

ist

\infty

weil du zu jedem

N_{0} \in ℕ

ein

n

finden kannst so dass der Ausdruck

> n_{0}

ist,) das ist die Def. von

lim = \infty

.
es ist in diesem Fall auch ungünstig, den Bruch durch

n^{16}

zu kürzen, statt durch

n^{12}

.
Gruß ledum

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11:50 Uhr, 26.09.2018

Danek die Antwort war hilfreich.
Angenommen ich habe angefangen so eine Aufgabe zu lösen und ich habe am Anfang das falsche ausgeklammert.
irgendwann beim vereinfachen komme ich auf den Ausdruck

- \frac{1}{\frac{1}{n^{4}} + \frac{2}{n^{14}}}

Könnte ich bereits an dieser Stelle sagen das der Grenzwert

- \infty

ist wegen dem Ausdruck

\frac{1}{\frac{1}{n}}

?

Ist das eine bestimmte Regel das

\frac{1}{\frac{1}{n}}

den Grenzwert

\infty

besitzt? Gibt es da villeicht Tabellen wo man das herauslesen kann oder irgend einen Artikel im Internet zu diesem Thema?

rundblick aktiv_icon

12:35 Uhr, 26.09.2018

a_{n} = \frac{- n^{16}}{n^{12} + 2 n^{2}}

du kannst dir für zukünftige Beispiele grundsätzlich dies klarmachen:

wenn der Zählergrad grösser ist als der Grad im Nenner (hier:

16 > 12)

dann hat die Folge garantiert KEINEN Grenzwert

\to

da brauchst du dann keine neuen Verrenkungen und Rechnungen mehr bemühen..

wenn in deinem Beispiel symbolisch geschrieben wird

\to lim_{n \to \infty} a_{n} = - \infty

dann heisst das , die Folge fällt unter jede denkbare Grenze (hat also keinen Grenzwert)

ok?

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