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Ungleichung bei Logarthmen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Logarithmus, MATH

darkness196 aktiv_icon

15:27 Uhr, 21.05.2016

Ist diese Ungleichung richtig gelöst?

Denn am Ende sollte

x > 10

rauskommen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

mihisu aktiv_icon

15:44 Uhr, 21.05.2016

In dem Schritt von

{0,5}^{x} < \frac{1}{2^{10}}

auf

x < {log}_{0,5} (\frac{1}{2^{10}})

liegt der Fehler.

Es müsste

x > {log}_{0,5} (\frac{1}{2^{10}})

lauten.

\\\\

Grund:
Die Funktion

{log}_{0,5}

ist streng monoton fallend. Und wendet man auf eine Ungleichung eine streng monoton fallende Funktion an, so dreht sich die Ordnungsrelation um.

Beispielsweise ist

2 < 4,

aber es ist

{log}_{0,5} (2) = - 1 > - 2 = {log}_{0,5} (4)

.

\\\\

Genauso ist für alle

b \in ℝ

mit

0 < b < 1

die Funktion

{log}_{b}

streng monoton fallen, so dass dann

x < y

äquivalent zu

{log}_{b} (x) > {log}_{b} (y)

ist.
Für

b > 1

ist jedoch

{log}_{b}

streng monoton steigend, so dass dann

x < y

äquivalent zu

{log}_{b} (x) < {log}_{b} (y)

ist.

darkness196 aktiv_icon

15:46 Uhr, 21.05.2016

Vielen Dank!

supporter aktiv_icon

15:47 Uhr, 21.05.2016

{log}_{0,5} (\frac{1}{2^{10}}) = - 10

mihisu aktiv_icon

15:52 Uhr, 21.05.2016

Da hast du ein falsches Vorzeichen, supporter.

\frac{1}{2^{10}} = {(\frac{1}{2})}^{10} = {(0,5)}^{10}

Man sieht also dass der Exponent von

0,5

hier

10

und nicht

- 10

ist. Und dieser Exponent entspricht gerade dem Wert von

{log}_{0,5} (\frac{1}{2^{10}})

.

Oder du prüfst es nochmal mit dem Taschenrechner nach.

Ich denke du hast im Kopf wahrscheinlich

{log}_{2} (\frac{1}{2^{10}})

berechnet statt

{log}_{0,5} (\frac{1}{2^{10}})

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