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Ungleichung verifizieren - Eulerische Zahl / Log

Schüler Berufliches Gymnasium,

Tags: Eulersche Zahl, Logarithmus, Ungleichung

frozeN aktiv_icon

22:53 Uhr, 27.11.2017

Abend zusammen,

Geht um die Aufgabe

b)

.

Weiß nicht wo ich ansetzen soll

. .

.
ich müsste ja erstmal entweder den log Term umschreiben oder die beiden Äußeren
damit ich anfangen kann zu vergleichen? Danach könnte ich mir einmal die linke
und einmal die rechte Seite anschauen. Also jeweils teilen und dann sollte es größer/kleiner gleich 1 sein. Bitte um Hilfe.

Gruß frozen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

DerDepp aktiv_icon

14:30 Uhr, 28.11.2017

Hossa :-)

Aufgabe b) folgt direkt aus Aufgabe a)

{(1 + \frac{1}{n})}^{n} < e \Leftrightarrow n \ln (1 + \frac{1}{n}) < \ln (e) \Leftrightarrow \ln (1 + \frac{1}{n}) < \frac{1}{n}

e < {(1 + \frac{1}{n})}^{n + 1} \Leftrightarrow \ln (e) < (n + 1) \ln (1 + \frac{1}{n}) \Leftrightarrow \frac{1}{n + 1} < \ln (1 + \frac{1}{n})

Das eigentlich Interessante ist es daher, den Teil a) zu zeigen. Hast du Teil a) schon oder brauchst du den noch?

frozeN aktiv_icon

20:30 Uhr, 28.11.2017

Danke schon einmal für deine Antwort.
Aufgabe a habe ich bereits gelöst. Habe es mit der Monotonie bewiesen und
den Grenzwert der beiden Folgen aus dem Skript genommen.
Stelle ich mir nicht so einfach vor den Grenzwert

e

zu beweisen.

Zu

b)

Ich muss ehrlich sagen ich hab totale Probleme mit dem Log/Ln Zeugs.
Das mit

e

habe ich relativ gut nach vielen Stunden verstanden, aber aus meinem
Skript werde ich nicht so doll schlau.
Das einzige was hängen geblieben ist, ist das der Log genau das Gegenteil vom Exponentiellen ist, also die Umkehrfunktion.
Dann natürlich noch der Kram aus der Schule wie man ihn benutzen kann um den Exponenten weg zu bekommen. Dann hört es auch schon auf. Was gibt es dann für regeln und wo achte ich am besten drauf wenn es sich um folgen handelt?

Verstehe deine Umformungen nicht komplett, was genau zeigst du jetzt damit?
Das was in

b)

steht, genau das gleiche ist was in Aufgabe

a)

schon bewiesen wurde?
Könntest du die einzelnen Schritte kurz erläutern. Vielen Dank

Gruß

DerDepp aktiv_icon

11:38 Uhr, 29.11.2017

Ja genau, was in (b) steht ist äquivalent zu dem, was in (a) steht. Wenn du (a) bewiesen hast, wendest du einfach die Logarithmen-Gesetze darauf an und erhälst (b).

Im Wesentlichen musst du dir nur merken, dass der Logarithmus die Rechenoperation "um eine Stufe erniedrigt." Aus Multiplizieren/ Dividieren wird Addieren/ Subtrahieren und aus Potenzieren wird Multiplizieren:

Regel 1a:

\log (a \cdot b) = \log (a) + \log b

Regel 1b:

\log (a / b) = \log (a) - \log b

Regel 2:

\log (a^{b}) = b \cdot \log (a)

Und du solltest natürlich wissen, dass

x = \log_{b} (a)

("Logarithmus von

a

zur Basis

b

") die Lösung der Gleichung

b^{x} = a

ist (für

a, b > 0

). Wegen Regel 2 kann man den Logarithmus zu jeder beliebigen Basis

b

auf den natürlichen Logarithmus

\log ()

zur Basis

e

zurückführen:

b^{x} = a \Leftrightarrow \log (b^{x}) = \log (a) \Leftrightarrow x \cdot \log (b) = \log (a) \Leftrightarrow x = \frac{\log (a)}{\log (b)}

Regel 3:

\log_{b} (a) = \frac{\log (a)}{\log (b)}

Diese Logarithmen-Regeln habe ich auf die Ungleichungen von Teilaufgabe (a) angewendet:

{(1 + \frac{1}{n})}^{n} < e

Auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus genommen:

\log ({(1 + \frac{1}{n})}^{n}) < \log (e)

Der natürliche Logarithmus von

e = e^{1}

ist 1, also

\log (e) = 1

. Dazu Regel 2 auf die linke Seite angwednet liefert:

n \log (1 + \frac{1}{n}) < 1

Jetzt noch beide Seiten durch

n

dividieren und eine Teilaussage von (b) steht da:

\log (1 + \frac{1}{n}) < \frac{1}{n}

Dann hast du in (a) auch noch bewiesen, dass gilt:

e < {(1 + \frac{1}{n})}^{n + 1}

Wieder auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus angwendet:

\log (e) < \log ({(1 + \frac{1}{n})}^{n + 1})

\log (e)

ist

1

und rechts wieder Regel 2:

1 < (n + 1) \log (1 + \frac{1}{n})

Beide Seiten durch

(n + 1)

dividiert, ergibt die zweite Ungleichung aus (b):

\frac{1}{n + 1} < \log (1 + \frac{1}{n})

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