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Vermutung

Schüler

Tags: Beweis

Randolph Esser aktiv_icon

11:51 Uhr, 07.10.2026

Beweise oder widerlege (durch ein Gegenbeispiel):

Für alle

x, y \in [0,1]

gilt

({(2 x - 1)}^{2} + {(2 y - 1)}^{2} \leq 1) \Leftrightarrow (x^{2} + y^{2} \leq 1)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Randolph Esser aktiv_icon

12:21 Uhr, 07.10.2026

Hat sich erledigt. Gegenbeispiele:

x = y = 0

oder auch

x = y = \frac{3}{4}

.

Falls es wen interessiert:

Für zufällig gleichverteilte

(x, y) \in {[0,1]}^{2}

gilt

P ({(2 x - 1)}^{2} + {(2 y - 1)}^{2} \leq 1) = P (x^{2} + y^{2} \leq 1) = \frac{π}{4},

und das, obwohl die jeweiligen Mengen der Tupel,

für die das gilt, nicht dieselben sind (siehe oben).

Vielleicht kann jemand das ja mal mit ein paar

schlauen Sätzen begründen...

abakus

15:23 Uhr, 08.10.2026

Zur Ausgangsfrage:
Wenn du die linke Ungleichung durch 4 teilst, erhältst du
(x-0,5)²+(y-0,5)²

\leq

0,5².
Das ist eine Kreis(un)gleichung und besagt:
Der Punkt (x,y) liegt in oder auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt (0,5|0,5) und dem Radius 0,5.
Die rechte Ungleichung besagt, dass (x|y) in oder auf einem Kreis um (0|0) mit dem Radius 1 liegt.
Da beide Kreise nicht identisch sind kann die genau-dann-wenn-Aussage nicht stimmen.

Randolph Esser aktiv_icon

17:10 Uhr, 08.10.2026

Ja, und das rechts ist der Vierteleinheitskreis im Einheitsquadrat
und das links dann der Kreis mit Radius

\frac{1}{2}

im Einheitsquadrat.
Beide Male also Chance

\frac{π}{4} . .

Randolph Esser aktiv_icon

17:15 Uhr, 08.10.2026

Danke !

abakus

17:31 Uhr, 08.10.2026

Es freut mich, wenn ich helfen konnte.
Viele Grüße
abakus

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