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Viereck Beweise

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Beweis, Sonstig, Viereck

ray11 aktiv_icon

10:28 Uhr, 05.10.2019

Hi, könnte mir jemand Tipps geben wie man folgende Beweise macht bzw. überhaupt beginnt.

a)

Man beweise: Verbindet man die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten in einem Viereck, so halbieren einander die beiden Verbindungsstrecken.

b)

Man beweise: Der Halbierungspunkt

M

der Verbindungsstrecke der Halbierungspunkte

H_{e}

und

H_{f}

der Diagonalen

e

und

f

eines ebenen Vierecks ABCD lässt sich folgendermaßen berechnen:

M = \frac{1}{4} (A + B + C + D)

.

Ich weiß leider überhaupt keinen Ansatz hierfür.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Winkelsumme

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Atlantik aktiv_icon

11:18 Uhr, 05.10.2019

Vielleicht ist das nützlich:

matheplanet.com/default3.html?call=article.php?sid=1097&ref=https%3A%2F%2Fwww.google.com%2F

mfG

Atlantik

michaL aktiv_icon

13:49 Uhr, 05.10.2019

Hallo,

mithilfe des Strahlensatzes ist a) kein Problem:
Verbindet man die Seitenmitten benachbarter (!) Seiten eines Vierecks, so ergibt sich stets ein Parallelogramm.
Die Verbindung der Seitenmitten gegenüberliegender Seiten sind dann die Diagonalen in oben genannten Parallelogramm, welche sich aufgrund der Tatsache, dass sie Diagonalen in einem Parallelogramm sind, tatsächlich gegenseitig halbieren.

b) scheint mir gedacht als Fall für Vektorrechnung und ist auch damit leicht machbar!

Mfg Michael

ray11 aktiv_icon

16:05 Uhr, 05.10.2019

Danke für die Antworten.

a)

habe ich soweit hinbekommen.

Bei

b)

weiß ich nicht wie ich das mit Vektoren zeigen soll. Könnte mir hier jemand einen Hinweis gehen?

michaL aktiv_icon

17:18 Uhr, 05.10.2019

Hallo,

sei

A B C D

ein ebenes Viereck, d.h. die Ortsvektoren der Endpunkte sind

\vec{O A}

\vec{O B}

\vec{O C}

und

\vec{O D}

.

Die Diagonalen sind gegeben durch die Richtungsvektoren

\vec{A C} = \vec{O V} - \vec{O A}

und

\vec{A B} = \vec{O D} - \vec{O B}

.

Ihre die Ortsvektoren ihrer Mitten sind durch

\vec{O M_{e}} = \frac{1}{2} \vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{O C}

und

\vec{O M_{f}} = \frac{1}{2} \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{O D}

zu berechnen.

Der Verbindungsvektor der Diagonalenmitten ist

\vec{M_{e} M_{f}} = \vec{O M_{f}} - \vec{O M_{e}} = \frac{1}{2} \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{O D} - \frac{1}{2} \vec{O A} - \frac{1}{2} \vec{O C}

.

Kannst du den letzten der wirklich einfachen Schritte nun allein?

Mfg Michael

ray11 aktiv_icon

09:32 Uhr, 06.10.2019

Danke für die Hilfe ich glaube jetzt hab ich es.

Um auf den Mittelpunkt des Verbindungsvektors zu kommen muss ich dann nur noch zuerst zum ersten Diagonalenmittelpunkt und dann die Hälfte des Verbindungsvektors dazu?!

Also:

M = O M_{e} + \frac{1}{2} M_{e} M_{f =} \frac{1}{2} O A + \frac{1}{2} O C + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} O B + \frac{1}{2} O D - \frac{1}{2} O A - \frac{1}{2} O C)

= \frac{1}{4} O A + \frac{1}{4} O B + \frac{1}{4} O C + \frac{1}{4} O D \Rightarrow \frac{1}{4} (A + B + C + D)

PS: Die Pfeile über den Vektoren hab ich leider nicht hinbekommen.

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