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Vollständige Funktionsuntersuchung: x^2(2-ln(x))

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Funktionsuntersuchung, Logarithmus Naturalis, Logarithmusfunktion, vollständig, x^2

THE-E aktiv_icon

17:32 Uhr, 10.03.2015

Hallo allerseits,

ich habe die Aufgabe eine vollständige Funktionsuntersuchung durchzuführen bei folgender Funktion:

x^{2} (2 - l n (x))

Dabei sind folgende Schritte zu machen, die ich nacheinander gerne machen möchte. Also weitesgehend selber mit Hilfe, da ich mir bei einigen Punkten sehr unsicher bin.

Vollständige Untersuchung:
1. Bestimmung der maximalen Definitionsmenge.

2. Verhalten der Funktion für sehr kleine und sehr große x-Werte und in der Nähe der Definitionslücken.

3. Bestimmung der Symmetrie, ob die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist (oder ob andere Aussagen zu Symmetrien gemacht werden können.)

4. Bestimmung der Nullstellen und der Art der Nullstellen (ob mit / ohne VZW).

5. Bestimmung des Schnittpunktes mit der y-Achse.

6. Bestimmung der 1., 2. (und 3.) Ableitung.

7. Bestimmung der Extrempunkte.

8. Bestimmung der Wendepunkte und gegebenenfalls Sattelpunkte.

9. Erstellung einer Wertetabelle für den interessanten Bereich der Funktion, in der Nähe der Nullstellen und der Hoch- , Tief- und Wendepunkte.

10. Zeichnen des Graphen der Funktion.

Ich habe in WolframAlpha.com die Funktion eingetragen, aber das Ergebnis verwirrt mich schon:
http//www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E2%282-ln%28x%29%29

Weiteres in meinen Lösungsansätzen

Gruß und danke im Voraus :-)

THE-E

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
ln-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

THE-E aktiv_icon

17:34 Uhr, 10.03.2015

Zu 1.) Im Buch steht: "Alle Logarithmusfunktionen haben die Definitionsmenge

D_{f} = R_{+}^{*}

Deshalb wäre das meine Antwort, aber WolframAlpha hat auch im negativen Bereich y-Werte, aber wie genau ist das möglich, wenn sie nicht definiert sein sollen?

WolframAlpha: www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E2%282-ln%28x%29%29

PhantomV aktiv_icon

17:44 Uhr, 10.03.2015

Hi,

Wolfram Alpha ist etwas zu schlau ;-). Deine Funktion wird als komplexe Funktion interpretiert und dann entprechend der Real- und Imaginärteil angezeigt. Was du benötigst ist der Real-Valued-Plot, dass kannst du rechts neben dem Plot auswählen.

Gruß PhantomV

Atlantik aktiv_icon

17:47 Uhr, 10.03.2015

f (x) = ln (x)

ist nur definiert für alle

x \in R^{+}

.

Wenn du nun

f (0,5) = ln (0,5)

ausrechnest , so erhältst du als Wert

\approx - 0,693

.

Das bedeutet nun , dass die

y

-Werte

< 0

sein dürfen.

mfG

Atlantik

THE-E aktiv_icon

17:52 Uhr, 10.03.2015

Das mit der Wertemenge ist mir bewusst :-) ... Nur war auch im 2. und 3.Koordinaten Quadrant eine grafische Darstellung eingezeichnet, weshalb ich irritiert war.

Wie PhantomV geschrieben hat, handelt es sich bei WolframAlpha um die Darstellung mit Komplexen-Werten. Danke :-)

@Atlantik. Ist

x = 0

definiert?

PhantomV aktiv_icon

18:03 Uhr, 10.03.2015

Falls du den Logarithmus meinst dann Nein. (Nicht mal im Komplexen)

THE-E aktiv_icon

18:12 Uhr, 10.03.2015

Dann müsste meine Definitionsmenge ja richtig sein mit

D_{f} = R_{+}^{*}

Zu 2) Also laut WolframAlpha ist es ja eindeutig abzulesen:

x \to - \infty

geht

f (x) \to - \infty

x \to + \infty

geht

f (x) \to - \infty

Und das deckt sich auch teilweise mit meinem Buch:
Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion

f : \to a_{n} x^{n} + . . .

für sehr große und sehr kleine

x

-Werte wird alleine durch den Term

a_{n} x^{n}

, also von dem Summanden mit der höchsten Potenz von

x

, bestimmt.

Aber:

x^{2} (2 - l n (x) = 2 x^{2} - x^{2} * l n (x)

beide sind in der höchsten Potenz aber einmal negativ und einmal positiv. Wieso richtet man sich nach der negativen Zahl?

PhantomV aktiv_icon

18:23 Uhr, 10.03.2015

Also der Defintionsbereich ist IR>0, damit sind alle reellen Zahlen größer als Null gemeint.
Meint schreibt dafür auch IR+ (wie bei Atlantik). IR* hingegen bezeichnet in der Regel alle reellen Zahlen ungleich Null. Falls dein _ ein Minus andeuten soll ist das falsch, da IR*_ für alle negativen reellen Zahlen stehen würde.

Das Verhalten im Unendlichen liest man auch nicht bei Wolfram Alpha ab, sondern man sollte sich das analytisch klar machen. Dazu solltest du vllt wissen dass ln relativ langsam wächst.

THE-E aktiv_icon

18:37 Uhr, 10.03.2015

Dass man das nicht abliest war mir schon klar, das war ja auch nur zur Kontrolle ;-)

Also wäre die Begründung für

x \to - \infty

: Da

x^{2} * l n (x)

langsamer wächst als

2 * x^{2}

und als negativer Term vorliegt, wird bei sehr großen negativen

x

-Werten

y

Richtung

- \infty

streben ?

Was die Definitionmenge angeht: Unser
Buch definiert

R_{+} = x \geq 0

und

R_{+}^{*} = x > 0

und

R^{*} = x =

R\{0}

Ist evtl. eine Definitionssache ;-)

PhantomV aktiv_icon

18:46 Uhr, 10.03.2015

Du musst aufpassen was deine Grenzen sind. Sowas wie x->-oo (-unendlich) ist hier nicht möglich, beachte deinen Definitionsbereich. Die beiden Grenzprozesse die du zu betrachten hast sind
x->0+ und x->+oo. Noch ein Hinweis: Es geht x²*lnx->0 für x->0+.

THE-E aktiv_icon

18:59 Uhr, 10.03.2015

Ok, verstehe. Also kann ich nur für

x \to + \infty

eine Aussage machen:
Da

x^{2} * l n (x)

langsamer wächst als

2 * x^{2}

und als negativer Term vorliegt, wird bei sehr großen positiven

x

-Werten

y

bzw.

f (x)

Richtung

- \infty

streben.

Bei der Definitionslücke strebt

y

bzw.

f (x)

gegen 0?
Oder wie soll ich das erklären?

Zu 3): Symmetrie zur

y

-Achse oder zum Ursprung liegt nicht vor, da

f

nur für

x > 0

definiert ist.

Zu 4):

x^{2} (2 - l n (x)) = 0 \overset{}{\Leftrightarrow} x^{2} (2 - l n (x)) = 0 \overset{}{\Leftrightarrow}

2 x^{2} - x^{2} l n (x) = 0 \overset{}{\Leftrightarrow} 2 x^{2} = x^{2} l n (x) \overset{}{\Leftrightarrow}

2 = l n (x) \overset{}{\Leftrightarrow} 2 = l n (x) \overset{}{\Leftrightarrow} l o g_{e}^{x} = 2 \overset{}{\Leftrightarrow} x = e^{2} \approx 7, 389

Nullstelle

N (e^{2} ∣ 0)

PhantomV aktiv_icon

19:25 Uhr, 10.03.2015

Die Begründung dass f(x)->0 für x->0+, folgt aus x²lnx->0 für x->0+.
Dass f(x)->-00 für x->+oo, folgt aus ln(x)->oo für x->oo.

Bei der Definitionslücke x=0 strebt f(x) also gegen 0 ja (mit Begründung von oben)

Zu 3) korrekt

THE-E aktiv_icon

14:20 Uhr, 11.03.2015

Zu 5: Kein Schnittpunkt mit der

y

-Achse wegen

x > 0

.

Zu 6: Wie genau mache ich hier die Ableitung?

Also ich muss doch die Produktregel verwenden, mit

f (x) = u (x) * v (x)

und

f ʹ (x) = u ʹ (x) * v (x) + u (x) * v ʹ (x)

, oder?

Bei der 1.Ableitung

u (x) = x^{2}; u ʹ (x) = 2 x

v (x) = 2 - l n (x); v ʹ (x) = (- \frac{1}{x})

Mein Ergebnis lautet demnach:

f ʹ (x) = x (3 - 2 * l n (x))

f ʺ (x) = 1 - 2 * l n (x)

f ‴ (x) = - \frac{2}{x}

Zu 7: Ich habe das notwendige Kriterium(

f ʹ (x) = 0

) und anschließend das hinreichende Krieterium(

f ʺ (x) < 0

für relativen Hochpunkt und

f ʺ (x) > 0

relativen Tiefpunkt) Untersucht.
Wenn einer der Faktoren Null ist, ist das Produkt Null. x=0 ist nicht definiert und fällt als Extrempunkt weg.

f ʹ (x) = x (3 - 2 * l n (x)) = 0 \Leftrightarrow 3 = 2 * l n (x) \Leftrightarrow \frac{3}{2} = l n (x) \Leftrightarrow x = e^{(} \frac{3}{2})

Wenn ich nun aber die

y

-Koordinate berechnen möchte indem ich

x

mit

e^{(} \frac{3}{2})

ersetze bekomme ich bei WolramAlpha 4,73... raus, wenn ich aber statt

e^{(} \frac{3}{2})

konkret

4, 48 . . .

einsetze bekomme ich den richtigen Wert

\approx 10, . . .

raus.

Habe die Gleichung mal ausgerechnet: Der Hochpunkt ist bei

H (e^{\frac{3}{2}} ∣ \frac{e^{3}}{2})

Aber das mit WolframAlpha verstehe ich dennoch nicht :/

Wieso? Sollte das kein "Synonym" sein?

Schonmal danke für die bisherigen Hilfestellungen :-)

ledum aktiv_icon

16:59 Uhr, 11.03.2015

Hallo
du hast halt in Wolfram

α

irgendwo einen Tippfehler. Warum rechnest du so einfache Dinge mit wolfram

α,

dein TR ist da doch besser- du weisst schon lnx=3/2 also

2 - ln (x) = \frac{1}{2}

und(

{(e^{\frac{3}{2}})}^{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot e^{3}

das kann dein TR schneller und du kannst das Ergebnis schätzen!
Gruß ledum

THE-E aktiv_icon

17:03 Uhr, 11.03.2015

Stimmt. Ich hatte ein Tippfehler drin :/
Aber mein manuelles Rechnen war richtig :-)

Naja, bei der Eingabe war ich bei der Klammersetzung nachlässig :/

Sorry

THE-E aktiv_icon

14:03 Uhr, 12.03.2015

Vielen lieben Dank an alle die mir so gut geholfen haben :-)

Ich habe nun alle Fragen beantwortet bzw. die vollständige Funktionsuntersuchung durchgeführt und bin mir relativ sicher, dass alles soweit korrekt ist :-)

Lieben Gruß

THE-E

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