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Vollständige Induktion mit Ableitung, Produktregel

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Höherdimensionale Ableitung, Produktregel, Vollständig Induktion

Maino aktiv_icon

23:39 Uhr, 19.01.2010

Hey Leute !
Also ich muss nächste Woche in Mathe ne GLF (=Gleichwertige Leistungs Festellung, ist so ne Art Referat/Präsentation) über das Thema Produktregel halten.
Da ich das Thema der Klasse vorstellen muss (wir haben es also noch nicht im Unterricht behandelt), hab ich nur wenig Ahnung davon.
Der Lehrer gab mir als "Anleitung" einen Zettel auf dem steht:

Leite die Produktregel für die Ableitung von Funktionen allgemein her !
Unterscheide dabei auftretende Fälle bei der n-ten Ableitung einer Funktion !
Weise mittels vollständiger Induktion nach, dass für alle natürlichen Zahlen

n \geq 1

die Funktion

f n

mit

f n (x) = x^{n}

die Ableitung

f' n (x) = n x^{n - 1}

besitzt !

So, das Erste mit der Produktregel allgemein werd ich schon hinbekommen, dazu find ich ja genug im Internet.
Das zweite mit dem Unterscheiden bei der n-ten Ableitung, hab ich keine Ahnung was gemeint ist.
Aber mein Hauptproblem ist natürlich die vollstände Induktion in der Aufgabe.

PS: Vollständige Induktion weiß ich was das ist, nur bei dieser Aufgabe hab ich keinen Plan wie es funktioniert.

Würde mich über eure Hilfe sehr sehr sehr freuen und wär euch mehr als Dankbar.
Mit freundlichen Grüßen
Maino

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

hagman aktiv_icon

09:01 Uhr, 20.01.2010

OK, zuerst einmal: Produktregel herleiten.
Ihr habt nicht zufällig schon die Ableitung vno

ln (x)

? Wahrscheinlich nicht.
Dann muss die Produktregel wohl ein- für alemal direkt mit Differenzenquotienten hergeleitet werden

. .

.

Ich sehe ehrlich gesagt auch keine Fallunterscheidung, die bei der n-ten Ableitung anzuwenden wäre. Man kann (per Induktion) die Produktregel verallgemeinern auf

{(f \cdot g)}^{(n)} (x) = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) f^{(k)} (x) g^{(n - k)} (x)

sofern

f, g

beide n-mal differenzierbar sind, aber eine Fallunterscheidung gibt es dabei eigentlich nicht.

Zum Induktionsbeweis: Setze

f_{n} (x) = x^{n}

.
Dann kennst du die Ableitung von

f_{0} (x)

und es gilt die Rekursion

f_{n + 1} (x) = x \cdot f_{n} (x),

so dass du mit der Produktregel

f_{n + 1}'

aus

f_{n}'

berechnen kannst.

Astor aktiv_icon

11:25 Uhr, 20.01.2010

Hallo,
also ich will mal die Ableitung von

x^{n}

mit Induktion herleiten.

Induktionsanfang:
n=1:

f (x) = x^{1} = x

f ʹ (x) = 1

Induktionsannahme:
Man nimmt an, dass die Regel für

n = k

gilt:
d.h.

f (x) = x^{k}

und also

f ʹ (x) = k * x^{k - 1}

Induktionsbehauptung:
Dann gilt die Regel auch für

n = k + 1

das bedeutet:

f (x) = x^{k + 1}

und somt

f ʹ (x) = (k + 1) * x^{k}

Induktionsbegründung:

f (x) x^{k + 1} = x^{k} * x

Nun wendet man die Produktregel an:
danach gilt:

f (x) = k * x^{k - 1} * x + x^{k} * 1 = k * x^{k} + x^{k} = (k + 1) x^{k}

was zu zeigen war.

Zur Fallunterscheidung hinsichtlich der n-ten Ableitung bei der Produktregel fällt mir nichts ein. Frag doch mal nach, ob er hierzu genauer beschreiben kann, was er sich da vorstellt.

Gruß Astor

Maino aktiv_icon

22:49 Uhr, 20.01.2010

Okay, erstmal vielen vielen Danke für eure (schnellen) Antworten.

@hagman:

Erstmal danke !
Ich kann dir aber da leider nicht ganz folgen.
Aber was ich gerade im Internet gefunden habe ist:

Produktregel

: f' (x) = u' (x) \cdot v (x) + u (x) \cdot v' (x)

(das ist glaub ich auch gemeint, die Herleitung dafür hab ich auch gefunden)

@Aßtor:

Vielen dank, dass du mir den Beweis so genau und ausführlich aufgeschrieben hast !
Nur ab der Induktionsbegründung komm ich leider nicht mehr ganz mit.
Ich weiß nicht wie du auf

f (x) x^{k} + 1 = x^{k} \cdot x

kommst.
Hast du nach dem

f (x)

ein = vergessen ?
dann das

x^{k} + 1

kapier ich, aber bei dem

x^{k} \cdot x

weiß ich nicht wie du drauf kommst.
Würde mich freuen , wenn du mir hier nochmal weiterhelfen kannst.

Ich frag den Lehrer morgen nochmal, wegen der Sache mit der n-ten Ableitung und den Induktionsbeweis kann ich auch mal überprüfen lassen.

Mit freundlichen Grüßen
Maino

hagman aktiv_icon

07:43 Uhr, 21.01.2010

Setze

f_{n} (x) = x^{n}

.
Dann gilt allgemein

f_{n + 1} (x) = x^{n + 1} = x \cdot x^{n} = x \cdot f_{n} (x),

also

f_{n + 1}' (x) = x \cdot f_{n}' (x) + 1 \cdot f_{n} (x)

.
Hast du also bereits

f_{n}' (x) = n \cdot x^{n - 1},

so folgt

f_{n + 1}' (x) = x \cdot n \cdot x^{n - 1} + x^{n} = (n + 1) \cdot x^{n}

Maino aktiv_icon

16:32 Uhr, 21.01.2010

Okey Leute, also ich hab noch was wichtiges dazu zu sagen^^
Hab heute mit dem Lehrer gesprochen und dann ist ihm aufgefallen, dass alles auf dem Zettel den ich in meinem ersten Beitrag als "Anleitung" bezeichnet hab, gar nicht zu meinem Thema gehört !
Das einzigste was ich davon machen muss, ist der erste Satz. (dazu hab ich schon einiges im Internet gefunden)
Und das mit der n-ten Ableitung und der vollständigen Induktion muss ich gar nicht machen ! Das gehört nicht dazu, der Lehrer hat nur einen Fehler gemacht !
:-D)
Aber trotzdem danke, dass ihr mir diese Fragen auch beantwortet hab.

Auf jeden Fall ist mein zweiter Aufgabenteil, einige Beispiele an der Tafel zu machen.
Ich hab hier mal ne Beispiel Aufgabe gemacht. Wär nett wenn ihr sie überprüfen könntet und sie wenn möglich weiter vereinfachen könntet.
Also:

Ich soll die Ableitung von

f (x) = sin (x) \cdot \sqrt{x}

bilden.
Ich hab einfach mal so angefangen:
Mit

u (x) = sin (x)

und

v = \sqrt{x} = x^{- \frac{1}{2}}

ist

u' (x) = cos (x)

und

v' (x) = - 0,5 x^{- 1,5} = - \frac{0,5}{x^{1,5}}

Also:

f' (x) = sin (x) \cdot (- \frac{0,5}{x^{1,5}}) + cos (x) \cdot \sqrt{x} =

kann man des jetzt noch weiter vereinfachen?
Und

f'' (x)

muss ich auch noch bilden?!

Mit freundlichen Grüßen
Dr.Penny

hagman aktiv_icon

16:56 Uhr, 21.01.2010

Ich würde schreiben

f' (x) = \sqrt{x} \cdot (cos (x) - \frac{1}{2 x^{2}} sin (x))

oder

f' (x) = \frac{2 x^{2} cos (x) - sin (x)}{2 x \sqrt{x}}

Astor aktiv_icon

17:13 Uhr, 21.01.2010

Ich habe nicht alles nachgerechnet. Aber

\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}

@mainu, offenbar zeigt das Programm nicht korrekt an.
Ich habe geschrieben:

x^{k + 1} = x^{k} * x

soll lauten: "x hoch (k+1)=(x hoch k)*x"

Gruß Astor

Maino aktiv_icon

20:32 Uhr, 21.01.2010

Achso okey danke.
Und so wie ich angefangen hab kanns mans also nicht mehr vereinfachen ?
Aber es ist besser, wenn ich es so wie Hagman umschreib?
Und wie kommst du auf die

\frac{1}{2 x^{2}}

?

Welchen Vorteil bringt es mir, wenn ich am Ende noch das

\sqrt{x}

umschreib?

Ich werd noch paar Aufgaben üben und bei weiteren Fragen, werd ich sie hier posten :-)

Mit freundlichen Grüßen
Maino

hagman aktiv_icon

21:48 Uhr, 21.01.2010

Was der "einfachste" Ausdruck ist, hängt auch vom Geschmack ab.
Auf jeden Fall neige ich dazu, Ungenauigkeit suggerierende Dezimalbrüche zu vermeiden, wenn exakte Brüche bekannt sind. Welche Potenzen oder halben Potenzen man jedoch ausklammert / auf einen Nenner bringt, ist wie gesagt mE Geschmackssache

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