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Volumen Kugelabschnitt (Analysis)

Schüler Regionalschule, 10. Klassenstufe

Tags: Analysis, Kugelabschnitt, Kugelsegment, Volumen

Richy aktiv_icon

15:43 Uhr, 26.04.2008

Brauche Hilfe bei folgender Aufgabe

Gegeben ist ein Kugelabschnitt mit der Abschnittshöhe $h$ einer Kugel mit dem Radius $r$ . Gesucht ist das Volumen $V$ des Kugelabschnitts.

Man beachte die inneren und äußeren Treppenkörper, die aus Zylindern gleiche Höhe $\frac{h}{n}$ bestehen, wenn mit $n$ die Anzahl der gleichen Unterteilungen der Höhe $h$ bezeichnet wird. (Siehe meine Zeichnung)

Man bestimme die Formeln für $V_{i} (n)$ und $V_{a} (n)$ und führe eine Interwallschachtelung und Grenzwertbetrachtung durch.

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung
Volumen einer Pyramide
Volumen und Oberfläche einer Pyramide
Volumen und Oberfläche eines Kegels
Volumen und Oberfläche eines Prismas
Volumen und Oberfläche eines Zylinders

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Richy aktiv_icon

10:21 Uhr, 27.04.2008

Hier findest du schnell eine Antwort? Leider nicht!

Dravo5 aktiv_icon

11:33 Uhr, 27.04.2008

Also, ich hab beschlossen, dir beui dieser schwierigen Aufgabe zu helfen

Ich werde das aber nur erst mal Schritt für Schritt machen, das dauert nämlich rel lang^^

Aber erst mal muss ich wissen, was genau $V_{i} (n)$ und $V_{a} (n)$ und sein sollen, bzw, was der Unterschied ist

Ich fang mal mit einer Teilrechnung an, ich bestimme das Volumen des Kegels, der an der Unterseite entsteht

Dort sieht man ja ein rechtwinkliges Dreieck, also gilt der Satz des Pythagoras

r²= (r-h)² +( $r_{K e g e l}$ )²

( $r_{K e g e l}$ )²=r²- (r-h)²

( $r_{K e g e l}$ )²=2rh-h²

$V_{K e g e l}$ = 1/3 * $Π$ *( $r_{K e g e l}$ )²

$V_{K e g e l}$ = $Π$ /r * (h²-2rh)

Der Rest folgt noch, wenn irgendwelche Vierecke angezeigt werden, dann musst du noch das Grafikpaket downloaden, frag mich jetzt aber bloß nich, wo man das findet^^

Dravo5 aktiv_icon

11:47 Uhr, 27.04.2008

ach, jetzt hab ichs^^

Einmal für außen und einmal für innen, richtig?

Richy aktiv_icon

11:48 Uhr, 27.04.2008

Ja genau.

Danke das du dich meiner annimmst.

Also. $V_{i} (n)$ ist das Volumen des inneren Treppenkörpers bei n Treppenstufen. (also eigentlich n-1, da der innere Treppenkörper ja eine Stufe weniger hat). $V_{a} (n)$ ist also das Volumen des äußeren Treppenkörpers. Das heißt ich muss eine Formel mit der Variablen n aufstellen für den inneren und den äußeren Treppenkörper.

Dabei komme ich immer soweit:

$V_{i} (n) = G_{1} \frac{h}{n} + G_{2} \frac{h}{n} + ... + G_{n - 1} \frac{h}{n}$

bzw.

$V_{a} (n) = G_{1} \frac{h}{n} + G_{2} \frac{h}{n} + ... + G_{n} \frac{h}{n}$

Richy aktiv_icon

11:59 Uhr, 27.04.2008

Wobei $G$ jeweils die kreisförmige Grundfläche der einzelnen Zylinder ist.

Da $G_{n} = r_{n} ² h Π$ ist also $G_{n} \frac{h}{n} = \frac{r_{n} ² h² Π}{n}$

Also kommt man auf

$V_{a} (n) = \frac{h² Π}{n} (r_{1} ² + r_{2} ² + ... + r_{n} ²)$

Jetzt müsste ich das in den Klammern noch irgendwie zusammenfassen.

Dravo5 aktiv_icon

12:12 Uhr, 27.04.2008

Also, ich komme hier schon sehr nah an meine Grenzen.... aber die Grundfläche müsste ich noch bestimmen können

Ich nehm mal nur die Innrere und gehe immer vom j-ten Zylinder aus

$V_{i_{Z y l i n d e r}}$ = $Π$ ( $r_{Z y l i n d e r}$ )²*(h/n)

Jetzt wirds vielleicht etwas schwer... und ich kann mit den Zeichnungen hier nicht umgehen, da muss ichs mit Worten versuchen

wir nehmen hier wieder Phytagoras, allerdings haben wir nun eine neue Höhe(von unten aus gesehen)

zu r-h kommt bei jedem weiteren Zylinder auch noch seine eigene Höhe (und die seiner Vorgänger)dazu

also beträgt unsere neue Höhe

r-h+j*h/n

= r+ j*h/n -(n*h)/n

= r+(j*h-nh)/n

= r+h*(j-n)/n

r²= ( r+h*(j-n)/n)² + ( $r_{Z y l i n d e r}$ )² -> Ich hoffe, du kannst es vielleicht an einer eigenen Zeichnung nachvollziehen

( $r_{Z y l i n d e r}$ )²=r²- ( r+h*(j-n)/n)²

und nun berechnen wir das Volumen des j-ten Zylinders

$V_{i_{Z y l i n d e r}}$ = $Π$ ( $r_{Z y l i n d e r}$ )²*(h/n)

$V_{i_{Z y l i n d e r}}$ = $Π$ (r²- ( r+h*(j-n)/n)²) *(h/n)

puh, ich brauch ne Pause, versuchs mach zu überprüfen, 100%ig sicher bin ich mir da nicht

Achja, wenn dus für außen haben willst, dann musst du statt j einfach nur j-1 schreiben

und für j gilt: 1<=j<=n

Richy aktiv_icon

12:27 Uhr, 27.04.2008

Ich glaube du hattest einen kleinen Fehler drin, aber deine Absicht habe ich verstanden. Sehr schönen. Vielen Dank! Werde den Weg mal weiter verfolgen.

Zum Fehler:

r-h+j*h/n

= r+ j*h/n -(n*h)/n

Ich glaube es müsste heißen

r-h+j*h/n

=(r+j)*h/n-h²/n

Dravo5 aktiv_icon

12:33 Uhr, 27.04.2008

nein, ich bin der Meinung, dass meins richtig ist^^

Ich habe erst mal die Summanden vertauscht, damit das Minus etwas weiter hinten ist^^

r - h + j \cdot \frac{h}{n} = r + j \cdot \frac{h}{n} - h

Dann hab ich nur das

h

mit

n

erweitet, damit da

h \cdot \frac{n}{n}

entsteht

r + j \cdot \frac{h}{n} - h = r +

(jh)/n - (hn)/n

dann hab ich die Brüche zusammengerechnet

r +

(jh)/n - (hn)/n=

r +

(hj -hn)/n

und dann hab ich

h

ausgeklammert

r +

(hj -hn)/n

= r + h \frac{j - n}{n}

Richy aktiv_icon

12:46 Uhr, 27.04.2008

Mein Fehler.

Das heißt es gilt allgemein

$r_{x} = \sqrt{r² - (r - h + \frac{h}{n} (n - x)) ²}$

richtig?

EDIT//: Wird bei mir nicht richtig angezeigt also nochmal ohne Wurzel:

$r_{x} ² = r² - (r - h + \frac{h}{n} (n - x)) ²$

$x \in {1, 2, ..., n}$

Richy aktiv_icon

13:12 Uhr, 27.04.2008

Ende ab hier komme ich nicht weiter.

Richy aktiv_icon

14:35 Uhr, 27.04.2008

Habs selbst geschafft. Trotzdem Danke!

$\frac{n (n + 1)}{2} (2 r {(\frac{h}{n})}^{2} Π) + {(\frac{n (n + 1)}{2})}^{2} ({(\frac{h}{n})}^{3} Π)$

$\frac{n (n - 1)}{2} (2 r {(\frac{h}{n})}^{2} Π) + {(\frac{n (n - 1)}{2})}^{2} ({(\frac{h}{n})}^{3} Π)$

mokka60 aktiv_icon

19:14 Uhr, 27.04.2008

Hallo,

ich habe eure Lösungen nur flüchtig überflogen.

Am Ende scheint mir aber ein Fehler im letzten Term zu stecken:

Nach meiner Rechnung - Lösung als jpg-Datei im Anhang - kann der Faktor

(\frac{n (n - 1)}{2}))^{2},

der bei

({(\frac{h}{n})}^{3} \cdot π)

steht nicht stimmen.

Anmerkung zu meiner Lösung: Ich habe die Radien der Zylinderscheiben von oben nach unten nummeriert, im Unterschied zu Dravo5, der sie "von unten nach oben" nummeriert hat.

MfG

Richy aktiv_icon

15:03 Uhr, 29.04.2008

Du hast natürlich vollkommen recht. Habe es ebenso wie du. Habe wohl beim schreiben des Beitrages was durcheinander gebracht. Vielen Dank für den Hinweis.

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