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Volumen Rotation um die y-Achse zwischen 2 Graphen

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Fläche, Graph, Integration, Rotation, volum

pea321 aktiv_icon

15:08 Uhr, 21.06.2015

Hallo liebe Leute,

ich habe gerade eine Altklausur in Mathe gerechnet. Dabei kam folgende Aufgabe:

Berechne das Glasvolumen der Schale, die durch Rotation um die y-Achse zwischen den Graphen der Funktionen

f (x) = 2 x^{2}

und

g (x) = 0,5 x^{3}

entsteht (geschlossene Fläche).

Nun mein Ansatz wäre mit der Formel für das Volumen von Rotationskörper um die y-Achse:

V = \int_{c}^{d} π \cdot (f^{- 1} (y) d y

Dabei müsste man ja dann die Fläche

f (x)

von der

g (x)

abziehen. Allerdings scheitert es schon beim Schnittpunkt bestimmen der beiden Graphen. (Gleichsetzen)

Ist mein Ansatz denn richtig?

Vielen Dank!

Liebe Grüße,

Jannik

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

rundblick aktiv_icon

15:33 Uhr, 21.06.2015

.

" Allerdings scheitert es schon beim Schnittpunkt
bestimmen der beiden Graphen. (Gleichsetzen)"

oh jeh

! \to

schau ob du vielleicht doch aus

\to \frac{1}{2} x^{3} = 2 x^{2}

die Punkte

(0; 0)

und

(4; 32)

irgendwie herausfindest ??

?

und nebenbei:
schlage nach

\to

wie sieht die Volumenformel richtig aus ?

.

pea321 aktiv_icon

15:45 Uhr, 21.06.2015

ich habe so gerechnet:

\frac{1}{2} \cdot x^{3} = 2 \cdot x^{2}

\to \frac{1}{2} x^{3} - 2 x^{2} = 0

\to x^{2} (\frac{1}{2} x - 2) = 0

- \to x_{1} = 0

- \to x_{2} = 4

stimmt das?

Die Volumenformel habe ich nur falsch abgeschrieben, keine Angst ;-)

Hier die richtige:

V = \int_{c}^{d} π \cdot {(f^{- 1} (y))}^{2} d y

rundblick aktiv_icon

15:52 Uhr, 21.06.2015

"stimmt das? "

....super ! aber: du brauchst eigentlich die y-Werte?

und dann noch dazu:
" dann die Fläche

f (x)

von der

g (x)

abziehen."
von wegen Flächen abziehen

. .

.

du sollst ein Rotationsvolumen (Formel ja jetzt ohne Angst

!)

berechnen

schau dir den Graph der Begrenzungslinien an, die bei Rotation
um die y-Achse den Glaskörper erzeugen
und überlege dann besser..

.

pea321 aktiv_icon

16:31 Uhr, 21.06.2015

Ich habe jetzt mal den Graph gezeichnet und auch noch die y-Grenzen also 0 und

32

berechnet.

Da ich sonst keine andere Formel für ein Volumen von Rotationskörpern gefunden habe, gehe ich davon aus, dass diese hier stimmt. Bei der Schwerpunktberechnung ist es ja auch so, dass man die beiden Funktionen voneinander substituiert.

Dementsprechend sähe meine Formel folgendermaßen aus:

V = π \cdot \int_{c}^{d} {(f^{- 1} (y) - g^{- 1} (y))}^{2}

aus oder ?

Vielen Dank schonmal für deine Hilfe!

Roman-22

16:57 Uhr, 21.06.2015

Erst quadrieren und dann subtrahieren! Und die Reihenfolge der Operanden wäre auch zu überdenken!

Stell dir vor, du fertigst erst einen Vollkörper durch Rotation von

g

an und nimmst dann die Aushöhlung, die durch Rotation von

f

entsteht, weg.

R

pea321 aktiv_icon

17:38 Uhr, 21.06.2015

ok! also sieht das Ganze so aus:

V = π \int_{c}^{d} {(g^{- 1} (y))}^{2} - {(f^{- 1} (y))}^{2} d y

.

Dann löse ich also die Gleichungen

g (x)

und

f (x)

nach

x

auf um die Umkehrfunktion zu erhalten und setze diese dann in die formel ein. Anschließend löse ich das Integral.

Soweit richtig?

rundblick aktiv_icon

18:27 Uhr, 21.06.2015

.
hm..

f \to

wenn

\to y = 2 x^{2} . .

. dann ist

\to x^{2} = \frac{1}{2} y

g \to

wenn

\to y = \frac{1}{2} x^{3} . .

. dann ist

\to x^{2} =

.?.

und dann einsetzen

. .

.

.

pea321 aktiv_icon

18:48 Uhr, 21.06.2015

das wäre dann

\sqrt{2 y}

damit ergibt sich:

V = π \cdot \int_{0}^{32} (\frac{1}{2} y - \sqrt{2 y}) d y

\to

2pi

\cdot {[\frac{y^{2}}{2} - \frac{2}{3} \cdot \sqrt{2} \cdot x^{\frac{3}{2}}]}^{32}

\to \sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot π {[y^{2} - y^{\frac{3}{2}}]}^{32} = 2496,84

das Gleiche bekomme ich auch heraus, wenn ich die Volumenformel für die

x

Grenzen benutze und statt der Umkehrfunktion die Ableitung.

Kann das jemand von euch bestätigen?

Vielen lieben Dank euch!

rundblick aktiv_icon

18:57 Uhr, 21.06.2015

.
" das wäre dann

\sqrt{2 y}

... ... . \to

aber das ist doch völlig FALSCH !

nochmal :
wenn

\to y = \frac{1}{2} x^{3} .

. dann ist zunächst

\to x =

.?. und dann

\to x^{2} = (

.?.

)^{2}

also wie ist das nun hier mit

x^{2}

?

abgesehen von deinem falschen Start
(was den Rest natürlich auch nicht gut aussehen lässt)
hast du bei diesem Rest gleich mal die falsche Reihenfolge verwendet ..

Vorschlag :

\to

alles nochmal, aber dann möglichst fehlerfrei...

aber ok

\to

alles total falsch, aber egal :

\to

du hast das Ganze ja als erledigt abgehakt ..

\to

alles klar...
.

pea321 aktiv_icon

19:25 Uhr, 21.06.2015

Gehen wir das mal langsam an:

y = \frac{1}{2} \cdot x^{3}

2 y = x^{3}

x = {(2 y)}^{\frac{1}{3}} \to x^{2} = {(2 y)}^{\frac{2}{3}}

Was du mit Reihenfolge meinst, ist mir nicht genau klar aber ich versuchs mal weiter:

V = π \cdot \int_{0}^{32} (\frac{1}{2} y - {(2 y)}^{\frac{2}{3}}) d y \to

V = π \cdot 2^{\frac{2}{3}} \cdot \int_{0}^{32} (\frac{1}{2} y - {(y)}^{\frac{2}{3}}) d y

V = π \cdot 2^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} {[(\frac{y^{2}}{2}) - y^{\frac{5}{3}}]}_{0}^{32}

und dann einsetzen:

V = 283,45

besser so?

rundblick aktiv_icon

19:45 Uhr, 21.06.2015

"
besser so?"

... ... ... .

. ne - aber immerhin ist nun

\to x^{2} = {(2 y)}^{\frac{2}{3}}

richtig

"Was du mit Reihenfolge meinst, ist mir nicht genau klar"

\to

aber das hat dir doch Roman-22 oben schon verklickert

: \to

"..Und die Reihenfolge der Operanden wäre auch zu überdenken! "

Fehler : zB

\to

die geniale Idee, den Faktor

2^{\frac{2}{3}}

vor das
ganze Integral zu ziehen

\to

erzürnt den ersten Summanden

\frac{1}{2} y

im Integral,
denn der hat diesen Faktor nicht verdient

...

.
usw, usw..

hm?

und damit du nicht länger verwiirrend rumtapsen musst
hier ein Vorschlag, der dir vielleicht das Erfolgserlebnis
näher bringt :

rechne zwei getrennte Volumina , rotiere also zweimal :

\to V_{1} :

zuerst nur das mit Grenzlinie

g

und dann

\to V_{2} :

das mit Grenzlinie

f

dann ist dein gesuchtes Glaskörper-Volumen

\to V = V_{1} - V_{2}

(überlege noch selbst :warum so? oder lies nochmal bei Roman-22 nach :
".... und nimmst dann die Aushöhlung .. weg" .. na ia - nur einmal -
denn das ist ja eigentlich schon nach dem Aushöhlen sowieso weg ..

Wie sieht also nun dein Ergebnis aus ?
.

pea321 aktiv_icon

21:02 Uhr, 21.06.2015

Oh man. Ich weiß auch nicht warum ich mir bei dieser Aufgabe so schwer tue.
Das mit den 2 seperaten Volumen habe ich jetzt verstanden.

Zuerst mein

V 1

mit

g (x) :

V_{1} = π \cdot \int_{0}^{32} {(2 y)}^{\frac{2}{3}} d y

\to π \cdot \int_{0}^{32} {(2)}^{\frac{2}{3}} \cdot y^{\frac{2}{3}} d y

\to π \cdot 2^{\frac{2}{3}} \int_{0}^{32} (y^{\frac{2}{3}}) \to π \cdot 2^{\frac{2}{3}} \cdot {[\frac{3}{5} y^{\frac{5}{3}}]}_{0}^{32}

dann

y = 32

einsetzen und damit

V 1 = 965,097

analog

V 2 :

V_{2} = π \cdot \int_{0}^{32} \frac{1}{2} y d y = \frac{1}{2} \cdot π \int_{0}^{32} (y) = \frac{π}{2} {[(\frac{y^{2}}{2})]}_{0}^{32}

\to V 2 = 804,247

V = V 1 - V 2 = 160,827

Ich hoffe, dass es jetzt stimmt.

rundblick aktiv_icon

21:20 Uhr, 21.06.2015

.

" Ich hoffe, dass es jetzt stimmt."

\to

Ja - jetzt bist du in guter Hoffnung

! :

... ... ... . .

\to V = \frac{2^{8}}{5} π = \frac{256}{5} π = .

.

also dann...
.

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