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Volumen eines unbekanten Körpers

Schüler Fachoberschulen, 12. Klassenstufe

Tags: Volumen

Hompi aktiv_icon

02:49 Uhr, 07.04.2010

Hallo, ich habe hier ein art Quader bei dem ich 4 unterschiedliche höhen habe.
Meine Frage lautet nun, ist es möglich dieses ding zu berechnen ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung
Volumen einer Pyramide
Volumen und Oberfläche einer Pyramide
Volumen und Oberfläche eines Kegels
Volumen und Oberfläche eines Prismas
Volumen und Oberfläche eines Zylinders

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Edddi aktiv_icon

07:26 Uhr, 07.04.2010

...geht über die Integration der einzelnen Flächen.

Wichtig ist die Zuordnung der einzelnen Höhen über den Eckpunkten des Rechtecks.

(Siehe anhängende Skizze)

So ist dann:

V = \int_{0}^{b} A (x) d x

mit

A (x) = a \cdot \frac{h_{1} (x) + h_{2} (x)}{2}

V = \frac{a}{2} \cdot \int_{0}^{b} [h_{1} (x) + h_{2} (x)] d x

wobei

h_{1} (x) = h_{1} + \frac{h_{4} - h_{1}}{b} \cdot x

und

h_{2} (x) = h_{2} + \frac{h_{3} - h_{2}}{b} \cdot x

so ist dann:

V = \frac{a}{2} \cdot \int_{0}^{b} [h_{1} + \frac{h_{4} - h_{1}}{b} \cdot x + h_{2} + \frac{h_{3} - h_{2}}{b} \cdot x] d x

V = \frac{a}{2} \cdot \int_{0}^{b} [h_{1} + h_{2} + \frac{h_{4} - h_{1} + h_{3} - h_{2}}{b} \cdot x] d x

V = \frac{a}{2} \cdot (\int_{0}^{b} [h_{1} + h_{2}] \cdot d x + \int_{0}^{b} [\frac{h_{4} - h_{1} + h_{3} - h_{2}}{b} \cdot x] d x)

V = \frac{a}{2} \cdot ([h_{1} + h_{2}] \cdot \int_{0}^{b} d x + \frac{h_{4} - h_{1} + h_{3} - h_{2}}{b} \cdot \int_{0}^{b} x d x)

V = \frac{a}{2} \cdot ([h_{1} + h_{2}] \cdot b + \frac{h_{4} - h_{1} + h_{3} - h_{2}}{b} \cdot \frac{b^{2}}{2})

V = \frac{a}{2} \cdot ([h_{1} + h_{2}] \cdot b + (h_{4} - h_{1} + h_{3} - h_{2}) \cdot \frac{b}{2})

V = \frac{a \cdot b}{4} \cdot (2 \cdot [h_{1} + h_{2}] + (h_{4} - h_{1} + h_{3} - h_{2}))

V = \frac{a \cdot b}{4} \cdot (2 \cdot h_{1} + 2 \cdot h_{2} + h_{4} - h_{1} + h_{3} - h_{2})

V = \frac{a \cdot b}{4} \cdot (h_{1} + h_{2} + h_{3} + h_{4})

...meine Güte...so eine schöne Formel..sowas geht nur in der Mathematik!

Test mit

h_{1} = h_{2} = h_{3} = h_{4} :

V = \frac{a \cdot b}{4} \cdot 4 \cdot h_{1} = a \cdot b \cdot h_{1}

...sieht gut aus...und man sieht, das die Zuordnung der Höhen KEINE Rolle spielt...

;-)

anonymous

10:40 Uhr, 07.04.2010

...und wenn du gleich den mittelwert aus den vier höhen genommen hättest?
mein gott wie unelegant das gewesen wäre!

⊙ k

Edddi aktiv_icon

10:50 Uhr, 07.04.2010

...hey old knut...da hast du vollkommen Recht...das wäre auch zu einfach gewesen.

;-)

Hompi aktiv_icon

11:52 Uhr, 07.04.2010

Die nach Frage ist blödsin die ich gestellt hatte

\land

.
Ich danke euch für die beantwortung meiner Fragen.

Hompi aktiv_icon

15:27 Uhr, 07.04.2010

Also ich probiere schon seit mehren Stunden es zu begreifen, aber ich bräuchte vieleicht doch noch nähere erklärung dazu.
Was auch gut wäre, wären einzelnde schlagwörter zum jeweiligen Schritt zum nach googeln :-) danke im vorraus.

Im übrigen hätte ich auch noch einige Daten zu dem Objekt:

a = 5,45 m

b = 4,30 m

h 1 = 0,68 m

h 2 = 0,10 m

h 3 = 0,18 m

h 4 = 0,20 m

Edddi aktiv_icon

15:32 Uhr, 07.04.2010

...mit diesen Daten kannst du das Volumen schön berechnen.

Die Herleitung hatte ich dir schon beschrieben. Die Vermutung, das sich das Volumen aus Fläche

\cdot

mittlere Höhe (Durchschnittshöhe = Summe der Höhen durch Anzahl der Höhen) berechnen lässt hat sich somit gezeigt.

Allerding brauchst du zum Nachvollziehen Kentnisse aus der Infinitesimalrechnung.

;-)

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