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Volumen mit unbekannter berechnen

Schüler Fachoberschulen, 12. Klassenstufe

Tags: Volumen

valik18 aktiv_icon

19:15 Uhr, 21.07.2011

hallo
habe diese Textaufgabe und kriege sie nicht ganz gelöst.

habe für die Aufgabe a folgendes Ergebnis raus

40,5 π

Aufgabe

b

kriege ich nicht gelöst und für Aufgabe

c

habe ich für

s = 3,41

raus

könnte mir jemand die Aufgaben Schritt für Schritt lösen damit ich den Zusammenhang sehe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung
Volumen einer Pyramide
Volumen und Oberfläche einer Pyramide
Volumen und Oberfläche eines Kegels
Volumen und Oberfläche eines Prismas
Volumen und Oberfläche eines Zylinders

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

prodomo aktiv_icon

19:36 Uhr, 21.07.2011

Das Rotationsvolumen ist

Π \int_{s}^{9} (x - s) d x,

weil allgemein

Π \int_{a}^{b} y^{2} d x

.
Dies ergibt als Stammfunktion

Π (0.5 x^{2}

-sx),nach dem Einsetzen der Grenzen also

Π (0.5 s^{2} - 4,5 s + 40,5)

. Das Gefäß fasst

Π \cdot 36 \cdot (s + 9)

. Die Differenz ist das Wasser. Nach Gleichsetzen mit

58,5 Π

ergibt sich eine quadratische Gleichung für

s (

zuerst alles durch

Π

kürzen ) Berücksichtigen, dass

s

positiv sein muss !

DmitriJakov aktiv_icon

19:44 Uhr, 21.07.2011

Achtung Falle :-D)

Das Gefäß fasst meiner Rechnung nach nur

π \cdot 9 \cdot (s + 9),

denn die 6 cm sind der Durchmesser und nicht der Radius. Und so ergibt sich:

V = π \cdot r^{2} \cdot h = π \cdot 3^{2} \cdot (s + 9)

und nicht

V = π \cdot r^{2} \cdot h = π \cdot 6^{2} \cdot (s + 9)

PS: Das ausgerechnete Integral ergibt bei mir auch einen anderen Wert:

π \cdot (\frac{1}{2} s^{2} - 9 s + \frac{81}{2})

valik18 aktiv_icon

19:53 Uhr, 21.07.2011

also die Stammfunktion lautet

\frac{1}{2} x^{2} -

sx
setzt

(9)

ein

= \frac{1}{2} \cdot {(9)}^{2} - 9 s = 40,5 - 9 s

setzt

(s)

ein

= \frac{1}{2} s^{2} - s^{2} = - \frac{1}{2} s^{2}

dann

π \cdot [- \frac{1}{2} s^{2} - (40,5 - 9 s)]

dann

π \cdot [- \frac{1}{2} s^{2} + 9 s - 40,5]

woher kommen deine

4,5 s

warum ist die obergrenze 9 der abstand

x

ist 9 und nicht

x = 9

müsste es nicht

s + 9

heißen

Ich hatte mir für die Aufgabe a so gedacht das ich die

y

achse um

s

verschiebe also damit das

s

weg ist dann lautet meine funktion nur noch wurzel

x

hat jemand bitte den genauen lösungsweg

DmitriJakov aktiv_icon

20:04 Uhr, 21.07.2011

Ich glaube, die Frage muss man komplett neu aufziehen, denn da sind zu viele "Sprengfallen" drin :-D)

Als Erstes: Das Koordinatensystem ist gekippt! Die Funktion

\sqrt{s - x}

ist eine Wurzelfunktion! Und das Integral hat in diesem Koordinatensystem die Grenzen

s

und

(s + 9)

Das Integral gibt den leeren Raum an, nicht den flüssigkeitsgefüllten Raum

!!!

Demnach ist das Rotationsvolumen auch der luftgefüllte Teil!

Redo from start!

valik18 aktiv_icon

20:07 Uhr, 21.07.2011

dann bin ich mal gespannt was da rauskommt

DmitriJakov aktiv_icon

20:09 Uhr, 21.07.2011

DU bist gespannt?

Nee, ICH bin gespannt :-D)

prodomo hat Dir die richtigen Werkzeuge genannt. Er hat nur den Hammer mit dem Nagel eingeschlagen, deswegen ist da was schief gegangen :-D)

Jetzt mach Du mal richtig, ich schau zu :-D)

valik18 aktiv_icon

20:12 Uhr, 21.07.2011

wenn ich die lösen könnte wäre ich nicht hier ich brauche hilfe von euch

valik18 aktiv_icon

20:25 Uhr, 21.07.2011

die aufgabe ist nicht geschlossen brauche immernoch eure hilfe

DmitriJakov aktiv_icon

20:26 Uhr, 21.07.2011

Naja, Du warst ja schon ziemlich weit.

Der luftgefüllte Zuckerhut im Wasserglas hat das Rotationsvolumen

V = π \cdot \int_{s}^{s + 9} {(\sqrt{x - s})}^{2}

V = π \cdot \int_{s}^{s + 9} (x - s)

Die Stammfunktion von

x - s

ist

\frac{1}{2} x^{2} - x s

Also:

V = π \cdot {[\frac{1}{2} x^{2} - x s]}_{s}^{s + 9} = π \cdot (\frac{1}{2} \cdot {(s + 9)}^{2} - (s + 9) \cdot s - (\frac{1}{2} \cdot s^{2} - s \cdot s))

V = π \cdot (\frac{1}{2} s^{2} + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot s \cdot 9 + \frac{1}{2} \cdot 9^{2} - s^{2} - 9 s - \frac{1}{2} s^{2} + s^{2})

V = π \cdot (\frac{1}{2} \cdot 9^{2}) = π \cdot 40,5

Man hätte das auch einfacher haben können, wenn man das Koordinatensystem verschoben hätte, mit Ursprung auf dem Scheitel der Wurzel. Du kannst das Ergebnis ja mal im Kopf für

π \cdot \int_{0}^{9} (x)

überprüfen :-D)

valik18 aktiv_icon

20:34 Uhr, 21.07.2011

ja ich habe auch das koordinatensystem verschoben nur habe ich das

s

weggelassen dadurch, durch logisches denken halt ohne es zu beweisen und habe dann mit Wurzel

x

gerechnet und habe

40,5 π

raus

so jetzt fehlen noch

b

und

c

DmitriJakov aktiv_icon

20:40 Uhr, 21.07.2011

Also bitte!

b)

habe ich Dir erstens doch schon gesagt (weiter oben)

Und zweitens: Wenn Du schon Koordinatenverschiebungen bei Integralen von Rotationskörpern hinbringst und das auch noch richtig machst, dann bitte rechne jetzt Aufgabe

b)

ohne fremde Hilfe hier an der Tafel vor. Du wirst doch wohl noch einen Zylinder aus den Angaben Durchmesser und Höhe fertigbringen ;-)

Zeitvorgabe:

60

Sekunden :-D)

valik18 aktiv_icon

11:41 Uhr, 22.07.2011

das problem ist doch das die höhe nicht gegeben ist weil die höhe

= s + 9

ist
der durchmesser ist klar

= 6

DmitriJakov aktiv_icon

11:46 Uhr, 22.07.2011

Ich kann seltsamerweise die Aufgabe nicht mehr laden, das Bild zeigt auf "unbenannt22"
Aber soweit ich mich erinnere war Aufgabe

b) :

Drücken Sie das Volumen des Glases in Abhängigkeit von

s

aus.

valik18 aktiv_icon

12:04 Uhr, 22.07.2011

b)

berechen in abhängigkeit von

s

das Innenvolumen des Gefäßes bis zur oberen Wasserkante

DmitriJakov aktiv_icon

12:07 Uhr, 22.07.2011

Genau, und wo ist jetzt das Problem?

V

ist nun eben eine Funktion von

s

bzw. das Volumen hat noch die Unbekannte

s

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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