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Volumenberechnung Zylinder mit angesetzem Kegel

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Volumen

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20:25 Uhr, 28.05.2009

Hallo,

Wir haben heute folgende Übungsaufgabe von unserm Lehrer bekommen zum Lernen für die bevorstehende Prüfung. Ich habe aber leider keine Ahnung wie ich mit dem Lösungsansatz beginnen soll.
Hier die Aufgabe:

Ein Wasserbehälter besteht aus einem Zylinder mit angesetzem Kegel, die Höhe des Zylinders ist a, die Mantellinie des Kegels 3a.
Es sind der Radius r des Zylinder und die Höhe h des Kegels zu bestimmen, so dass das Volumen des Behälters ein absolutes Maximum annimmt.

Hat vielleicht jemand eine Idee für einen Lösungsansatz?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)
Zylinder (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung
Volumen einer Pyramide
Volumen und Oberfläche einer Pyramide
Volumen und Oberfläche eines Kegels
Volumen und Oberfläche eines Prismas
Volumen und Oberfläche eines Zylinders

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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20:39 Uhr, 28.05.2009

Bei solch einer Aufgabe würde ich 2 Gleichungen aufstellen und die eine per Einsetzungsverfahren in die andere einsetzen, sodass du nur noch einen Unbekannten hast. Schließlich Ableiten und Nullsetzen.

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20:52 Uhr, 28.05.2009

Ja ist mir auch klar, aber ich weiss nicht wie ich die 2 Gleichungen aufstellen kann, so dass ich ein vernünftiges Ergebniss rausbekomme.
Ich bin soweit gekommen:

Kegel:

V k = \frac{1}{3} r^{2} \cdot π \cdot h

m k^{2} = r^{2} + h^{2}

{(3 a)}^{2} = r^{2} + h^{2}

r^{2} = {(3 a)}^{2} - h

V k = \frac{1}{3} {(3 a)}^{2} \cdot π - h^{2}

Zyinder:

V z = π \cdot r^{2} \cdot h

V z = π \cdot r^{2} \cdot a

Nun weiss ich aber nicht weiter, wie ich was in was einsetzen kann.

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20:59 Uhr, 28.05.2009

eine Frage: Woher willst du wissen, dass die Höhe des Zylinders

3 a

sind

(s

. deine letzte Formel)?

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21:02 Uhr, 28.05.2009

Hast recht die Höhe ist

a;

hab den Fehler korrigiert.

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21:05 Uhr, 28.05.2009

Hi,

wie kommst du hierrauf?:

V_{k} = \frac{1}{3} {(3 a)}^{2} \cdot π - h^{2}

Gruß Shipwater

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21:05 Uhr, 28.05.2009

Und dann eine weitere Frage: Müsste man nichtmal 2 andere bezeichnungen für die Höhe vom Kegel und vom zylinder festlegen. Denn die sind ja beide anderes und dürfen später nicht vermischt werden....das wird dann noch schwerer....

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21:11 Uhr, 28.05.2009

{(3 a)}^{2} = r^{2} + h^{2}

satz des pythagoras

r^{2} = {(3 a)}^{2} - h^{2}

V(Kegel)

= \frac{1}{3} \cdot {(\sqrt{9 a^{2} - h^{2}})}^{2} \cdot π ⋆ h

So muss die V(kegel) Formel heißen?!

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21:12 Uhr, 28.05.2009

Stimmt ich müsste

V k = \frac{1}{3} {({(3 a)}^{2} - h^{2})}^{2} \cdot π \cdot h^{2}

schreiben

Mache aber auch nur Fehler heute.

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21:12 Uhr, 28.05.2009

Hi,

V_{k} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot h

s^{2} = h^{2} + r^{2}

r^{2} = s^{2} - h^{2} = 9 a^{2} - h^{2}

V_{k} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot (9 a^{2} - h^{2}) \cdot h

V_{k} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot (9 a^{2} h - h^{3})

Gruß Shipwater

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21:14 Uhr, 28.05.2009

Ok
Danke fürs korrigieren!!

Aber was muss ich nun machen?

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21:15 Uhr, 28.05.2009

Fast richtig, doch duch hast vergessen, dass die Formel

\frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2}

ist und nicht

\frac{1}{3} \cdot π \cdot r

.

Ich geh mal eben 5 Min vom Rechner weg, und dann komme ich wieder und überlege mal fleißg. zu wann brauchste die Aufgabe

?

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21:16 Uhr, 28.05.2009

Hi,

wen meinst du jetzt?

Also

9 a^{2} = h^{2} + r^{2}

Dann ist

r^{2} = 9 a^{2} - h^{2}

Kann ich für

r^{2}

gleich

9 a^{2} - h^{2}

einsetzen, anstatt zuerst zu radizieren und dann wieder zu quadrieren.

Gruß Shipwater

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21:17 Uhr, 28.05.2009

Er meint mich, habs jetzt korrigiert, hatte oben noch das Quadrat an der Klammer vergessen.

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21:19 Uhr, 28.05.2009

Hi,

ja aber jetzt ist es doch falsch, denn du hast doch die Formel:

9 a^{2} = h^{2} + r^{2}

\to r^{2} = 9 a^{2} - h^{2}

Also kannst du für

r^{2}, 9 a^{2} - h^{2}

einsetzen und musst das nicht nochmal quadrieren, da ja

r^{2} = 9 a^{2} - h^{2}

und nicht

r = 9 a^{2} - h^{2}

ist!

Shipwater

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21:21 Uhr, 28.05.2009

Und was kann ich damit jetzt anfangen?

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21:21 Uhr, 28.05.2009

Hi,

der Zylinder hat den gleichen Radius wie der Kegel:

V_{z} = π \cdot r^{2} \cdot h

V_{z} = π \cdot (9 a^{2} - h_{k}^{2}) \cdot a

Gruß Shipwater

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21:25 Uhr, 28.05.2009

Aber es bleiben doch immer noch 2 Unbekannte übrig, oder habe ich etwas übersehen.

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21:25 Uhr, 28.05.2009

Genau ;-)
Eine Frage: Wie schreibe ich diese tiefzahlen- bzw. buchstaben.

z . B

. bei "h(k)", das

k

soll als tiefzahl stehen. danke

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21:26 Uhr, 28.05.2009

h_{k} =

"h_k" ohne Anführungszeichen

Shipwater

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21:27 Uhr, 28.05.2009

Kriege ich jetzt mit der ersten Ableitung eine Unbekannte raus?
Bin da nämlich nicht so sicher, was jetzt rausfällt und was drinbleibt.

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21:28 Uhr, 28.05.2009

Okey.

Lass uns mal systematisch vorgehen und erstmal alles bisher erarbeitete sammeln.
sprich die

V_{k}

Formel, die

V_{z}

Formel,

r

und was sonst noch so geht.

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21:32 Uhr, 28.05.2009

V_{k} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot (9 a^{2} \cdot h - h^{3})

r^{2} = 9 a^{2} - h^{2}

V_{z} = π \cdot (9 a^{2} - h_{k}^{2}) \cdot a

Hoffentlich diesmal ohne Fehler ;-)

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21:35 Uhr, 28.05.2009

Sieht bestens aus^^
Was ich an dieser Aufgabe bezweifel ist, dass man ein klares Ergebnis bekommt.
Es wird eher ein Ergebniss mit a und einem weiteren Unbekannten werden. Weil wir haben ja so etwas auch schon oft in der Schule gemacht, nur dass wir immer einen Zahlenwert angegeben bekommen haben und nicht nur

3 a

. Und nur durch das Einsetzungsverfahren bekommt man alle Unbekannten, außer a glaub ich auch net weg...

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21:38 Uhr, 28.05.2009

So, muss ich jetzt von

V_{z}

die erste Ableitung bilden?

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21:40 Uhr, 28.05.2009

Ich persönlich würde es, da ich mir nicht vorstellen kann (wie oben genannt)

h

noch durch a irgendwie zu ersetzen.

Es muss hier bei der Ableitung die produktregel angewendet werden,oder?

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21:42 Uhr, 28.05.2009

hmmm...
Also ich weiss jetzt nicht, was ich da noch für

h

einsetzen könnte

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21:52 Uhr, 28.05.2009

Wie kann ich jetzt die Ableitung bilden und was bleibt alles übrig? Oder hat noch jemand eine Idee, wie ich das

h

noch rausbekomme?

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21:54 Uhr, 28.05.2009

Habe den ganzen Krams glaub ich schon wieder halb vergessen. Ist das so richtig abgeleitet und ist die Anwendung der Produktregel richtig/nötig?

V (a) = π \cdot a \cdot (9 a^{2} - h_{k}^{2})

V' (a) = π \cdot (9 a^{2} - h_{k}^{2}) + π \cdot a \cdot 9 \cdot {(9 a^{2} - h_{k}^{2})}^{- 1} \cdot 18

Habe

π \cdot a

als "u" gezählt und

(9 a^{2} - h_{k}^{2})

als

v

. Dann die Regel:

f = u \cdot v; f' = u' \cdot v + u \cdot v'

.
Und habe ich die Kettenregel dann richtig angewendet

(s

. Ableitung der Klammer)?

Maurice

###

Angenommen es ist richtig.
Als nächstes musst du es 0 setzen und dann einfach nach a auflösen.

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22:05 Uhr, 28.05.2009

Ja ich glaube das ist soweit richtig
Ok, das bekomm ich hin

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22:30 Uhr, 28.05.2009

Hab die Ableitung nochmal nachgerechnet und komme da auf:

V_{k}

strich(weiss nicht wie ich das darstellen kann)

= π \cdot (9 a^{2} - h_{k} 2) + π \cdot a \cdot 18 \cdot a

Oder habe ich da was falsch gemacht?

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22:32 Uhr, 28.05.2009

Und da komme ich dann auf

h_{k}^{2} = 9 a^{2} + 18 a^{2}

Wie gesagt bin mir über das Ergebniss noch nicht sicher, bitte gebt noch einmal ein Rückmeldung.

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22:32 Uhr, 28.05.2009

Da fehlt die Hälft würde ich sagen. Du musst die Klammer mit der Kettenregel ableiten 8würde ich mal sagen) und da davor und Faktor,

π \cdot a,

steht, ist die produktregel doch eig. richtig?

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22:35 Uhr, 28.05.2009

Kümmer mich gleich nochmal drum, ich gehe mal eben was essen.

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22:36 Uhr, 28.05.2009

Kettenregel ist ja wie folgt:

f (x) = {(3 x - 1)}^{4}

f' (x) = 4 {(3 x - 1)}^{3} \cdot 3

Habe das so im Kopf:
-Die Potenz beim Ableiten vor die Klammer schreiben
-Die Klammer einfach abschreiben
-Die Potenz um 1 verringern (also

- 1

rechnen)
-Ableitungswert von

x

in der Klammer mal die Klammer (habe ich am Ende, hinter der Klammer stehen)

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22:56 Uhr, 28.05.2009

Hab vergessen die Potenz aus der Klammer rauszuholen, da lag der Fehler bei mir

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23:00 Uhr, 28.05.2009

Aber wie bist du bei deiner Ableitung auf

{(9 a^{2} - h_{k}^{2})}^{- 1}

gekommen

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23:04 Uhr, 28.05.2009

Ich will auch auf soein Gymnasium indem man in Sek. II sowas berechnet :-)))

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23:20 Uhr, 28.05.2009

Also: Habe die Ableitung nun nochmal gerechnet:

Zuerst habe ich die Funktion umgeformt:

V_{a} = (π \cdot a) \cdot (9 a - h_{k}) (9 a + h_{k})

dann habe ich es mit:

V_{a}' = U' \cdot V \cdot W + V' \cdot U \cdot W + W' \cdot U \cdot V

abgeleitet

Das Ergebniss:

v_{a}' = (9 a^{2} - h_{k}^{2}) + 162 \cdot a^{2}

Bin mir aber immer noch nicht sicher ob das so richtig ist.
Könnt ihr vielleicht nochmal eine Rückmeldung geben?

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