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Von der Ortskurve auf die Funktionenschar schließe

Schüler

Tags: Funktionenschar, Funtionsbestimmung, Ortskurve, Wendepunkt

Jacke14196 aktiv_icon

17:15 Uhr, 02.04.2020

Ich sitze momentan an einer alten Aufgabe und ich habe wirklich gar keine Idee für einen Ansatz. Wie soll ich den von der Ortskurve der Wendepunkte auf die Funktionenschar schließen?

Gegeben sei die Funktion

w

mit der Gleichung

w (x) = 3 \cdot e^{- (x - 4)} \cdot {(x - 4)}^{2}

Der Graph dieser Funktion ist die Ortskurve der Wendepunkte einer weiteren Funktionenschar
fk(x)
Geben Sie eine Funktionsgleichung dieser Funktionenschar an.

Meine zweite Frage wäre noch, wenn ich eine Ortskurve habe, auf der alle Hochpunkte einer Funktionenschar fa(x) liegen, und ich rechne den Hochpunkt dieser Ortskurve raus und ich bekomme zum Beispiel

x = 3.5

raus. Bedeutet dies dann, dass

f 3 . 5 (x)

den größten Hochpunkt besitzt?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktionenschar (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Krümmungsverhalten
Wendepunkte

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Punov aktiv_icon

18:24 Uhr, 02.04.2020

Guten Abend, Jacke14196!

Es gibt nicht DIE Funktionenschar, die die gegebene Ortskurve hat, es gibt viele.

Um eine mögliche Funktionenschar zu finden, beachte, dass

f ʺ (a) = 0

für einen Wendepunkt. Betrachte also zum Beispiel die Funktion

f ʺ (x) = x - a

. Bestimme nun durch Integration

f ʹ

und

f

und beachte, dass

f (a) = w (a)

.

Viele Grüße

Jacke14196 aktiv_icon

19:09 Uhr, 02.04.2020

Verstehe ich immer noch nicht. Kannst du vielleicht mal eine mögliche Funktionenschar vorrechnen. Wenn ich deine Funktion integriere bekomme ich

f 1 (x) = \frac{x^{2}}{2} - a \cdot x

und

f 2 (x) = \frac{x^{3}}{6} - a \cdot \frac{x^{2}}{2}

. Aber wie hilft mir das jetzt weiter?

Punov aktiv_icon

21:57 Uhr, 02.04.2020

Hallo, nochmal!

Du hast nicht richtig integriert.

Sei also

a

ein Wendepunkt, d.h.

f ʺ (a) = 0

. Das ist zum Beispiel für die Funktion

f ʺ (x) = x - a

der Fall. Integrieren liefert

f ʹ (x) = \frac{1}{2} (x - a)^{2} + b

f (x) = \frac{1}{6} (x - a)^{3} + b (x - a) + c

für Konstanten

b, c

. Nun gilt aber

f (a) = c

und

f (a) = w (a)

, somit erhält man als eine mögliche Funktionenschar

f_{a} (x) = \frac{1}{6} (x - a)^{3} + b (x - a) + w (a)

.

Viele Grüße

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