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Vorschrift einer Funktion bestimmen

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Funktionenfolgen

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Funktionentheorie

Stetigkeit

Tags: Funktion, Funktionalanalysis, Funktionenfolgen, Funktionenreihen, Funktionentheorie, Stetigkeit, vorschrift

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12:04 Uhr, 02.12.2020

Hallo zusammen,

die Aufgabe lautet folgendermaßen:

Bestimmen Sie die Vorschrift einer Funktion

f

mit Definitionsbereich

R

und
folgenden Eigenschaften:
•

f

ist stetig
•

f (x) = 3 x

− 7 für

x

∈

[2, 4]

• f´(0)=g´(0), wobei

g

implizit durch die folgende Gleichung gegeben ist:

2 \cdot {(g (x))}^{5}

ln (x + 1) + g (x)

e^{2 x} = 6 (x + 1)

− 5
• −3 ist kein Element vom Wertebereich
•

lim

x→+∞

f (x) =

−3

Ich habe diesen Ausgabentyp schon öfter gelöst und eigentlich auch verstanden, jedoch weiß ich nicht was ich mit der Eigenschaft
f´(0)=g´(0), wobei

g

implizit durch die folgende Gleichung gegeben ist:

2 \cdot {(g (x))}^{5}

ln (x + 1) + g (x)

e^{2 x} = 6 (x + 1)

− 5
anfangen soll.

Wie muss ich hier verfahren? Ich wollte die Gleichung nach

g (x)

auflösen, dann ableiten und 0 setzen, bekomme das Umstellen nach

g (x)

nicht hin.
Wäre dieser Ansatz richtig? Falls ja, kann mir jemand beim umstellen helfen?

Vielen Dank und beste Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

DrBoogie aktiv_icon

12:08 Uhr, 02.12.2020

Du musst nichts umstellen (wäre auch aussichtslos), leite einfach die Gleichung selbst ab und setze dann

x = 0

ein.

DerUeberforderte aktiv_icon

12:26 Uhr, 02.12.2020

Okay, danke schonmal.

Wäre die Lösung dann so richtig?

g' (x) = 10 ln (x + 1) \cdot {g (x)}^{4} + e^{2 x}

x = 0

g' (0) = 1

DrBoogie aktiv_icon

12:33 Uhr, 02.12.2020

Wenn du

2 \cdot (g (x))^{5} \cdot \ln (x + 1) + g (x) \cdot e^{2 x} = 6 (x + 1) - 5

ableitest, kommt

2 g (x)^{5} / (x + 1) + 10 g (x)^{4} \cdot g^{ʹ} (x) \ln (x + 1) + g^{ʹ} (x) e^{2 x} + 2 g (x) e^{2 x} = 6

raus.
Wenn

x = 0

, dann wird daraus

2 g (0)^{5} + g^{ʹ} (0) + 2 g (0) = 6

, also

g^{ʹ} (0) = 6 - 2 g (0) - 2 g (0)^{5}

.

Den Wert

g (0)

kann man aus der Gleichung selbst ermitteln:

g (0) = 1

DerUeberforderte aktiv_icon

13:16 Uhr, 02.12.2020

Tut mir leid, aber den Schluss verstehe ich nicht ganz.

Wie kommst du auf

g (0) = 1

?

Durch das Gleichsetzen von

f' (0) = g' (0)

?

Also

3 = 6

−

2 g (0)

−

2 {g (0)}^{5}

?

Wie löst du das dann auf? Und was sagt mir das Ergebnis dann genau? Sprich, wie sieht das dargestellt im Koordinatensystem aus?

DrBoogie aktiv_icon

13:26 Uhr, 02.12.2020

g (0) = 1

bekommt man aus der Originalgleichung

2 \cdot (g (x))^{5} \cdot \ln (x + 1) + g (x) \cdot e^{2 x} = 6 (x + 1) - 5

Setzt hier

x = 0

ein und es wird direkt

g (0) = 1

rauskommen.

"Also 3=6 − 2g(0) − 2g(0)5?"

Das ist übrigens schon deshalb falsch, weil

f^{ʹ} (x) = 3

nur für Werte aus

[2, 4]

. Aber nicht für

x = 0

.
Du hast

g (0) = 1

und

g^{ʹ} (0) = 6 - 2 - 2 = 2

DrBoogie aktiv_icon

13:30 Uhr, 02.12.2020

Übrigens, wenn das alle Vorschriften sind, die du hast, hast du sehr große Willkür für die Funktion. Sie kann außerhalb von

[2, 4]

ziemlich beliebig sein. Sie muss nur stetig sein, eine horisontale Asymptote

y = - 3

bei

+ \infty

haben und

f^{ʹ} (0) = 2

erfüllen.

Mathelooooser aktiv_icon

13:33 Uhr, 02.12.2020

Und wie wäre diese Aufgabe dann vollständig gelöst?

Mathelooooser aktiv_icon

13:37 Uhr, 02.12.2020

bzw. Was mache ich jetzt mit ger lösung g(0) = 1

DrBoogie aktiv_icon

13:41 Uhr, 02.12.2020

Z.B. erfüllt diese Funktion alle Bedingungen:

- 2

für

x \in (- \infty, - 1)

2 x

für

x \in [- 1, 1]

5 - 3 x

für

x \in [1, 2]

3 x - 7

für

x \in [2, 4]

- 3 + \frac{32}{x}

für

x \in (4, \infty)

Aber wie gesagt, es gibt sehr viele passende Funktionen

DrBoogie aktiv_icon

13:45 Uhr, 02.12.2020

g (0) = 1

ist an sich irrelevant. Man braucht sie nur um

f^{ʹ} (0)

zu berechnen. Was gleich

g^{ʹ} (0)

ist.

Mathelooooser aktiv_icon

13:46 Uhr, 02.12.2020

Können Sie bitte nochmal für dumme (mich) erklären, wie Sie da jetzt genau drauf kommen?

HAL9000

13:47 Uhr, 02.12.2020

Ist häufig zu erleben: Lässt man zu große Wahlmöglichkeiten, dann stehen die Nutzer (Aufgabenlöser) hilflos davor. Engt man von vornherein die Wahl ein, fühlen sie sich wohler...

Mathelooooser aktiv_icon

13:49 Uhr, 02.12.2020

So ganz viel bringt mir da ja die Lösung gar nichts, merke ich. Ich weiß nicht, wie ich an diese Aufgabe dran gehen muss, um sie zu bearbeiten und auf die Lösung zu kommen. Ich bitte um eure Hilfe.

HAL9000

13:58 Uhr, 02.12.2020

a) Zeichne die Funktion, soweit sie bekannt ist, d.h., das Geradenstück im Intervall

[2; 4]

b) Beachte, dass die Fortsetzungen links von den Punkten

(2; f (2)) = (2, - 1)

und rechts von

(4, f (4)) = (4, 5)

stetig anschließen müssen.

c) Da der Graph der Funktion niemals die Gerade

y = - 3

schneiden darf, sollte er immer oberhalb liegen. Für

x \to \infty

muss diese Gerade

y = - 3

aber zusätzlich auch noch die Asymptote an die Funktion sein.

DrBoogie hat nun EINE Möglichkeit für diese Fortsetzung angegeben - es steht dir frei, auch was anderes zu wählen. Insofern sind jegliche Fragen "warum MUSS das so und so sein" sinnlos, denn es muss nicht so sein, aber es KANN. Es gibt daher auch nicht DIE Lösung, sondern viele mögliche Lösungen.

DrBoogie aktiv_icon

13:59 Uhr, 02.12.2020

Ich muss eine Funktion finden, die Folgendes erfüllt:
1. stetig
2.

3 x - 7

auf

[2, 4]

f^{ʹ} (0) = 2

erfüllt
4. nimmt den Wert

- 3

nicht an
5. strebt aber zu

- 3

in Unendlichkeit

Wie gesagt, es gibt Tausend passende Funktionen. Aber ich versuche eine möglichst einfache Funktion zu konstruieren. Dazu passen am besten stückweise lineare Funktionen. Also die Funktionen von der Form

y = a x + b

. Nur bei 4 und 5 muss ich eine andere Funktion suchen, das kann man nicht mit linearen Funktionen erreichen.

Wenn ich also nur lineare Funktionen betrachte, dann muss die um

0

herum die Form

y = 2 x + b

haben, weil dann

f^{ʹ} (0) = 2

erfüllt ist. Nun, ich habe viele Freiheiten, also sage ich einfach

b = 0

. So. Jetzt muss ich dafür sorgen, dass die Funktion den Wert

- 3

nicht annimmt, dazu schneide ich den Definitionsbereich links bei

- 1

, denn da hat die Funktion schon den Wert

- 2

. Da ich alles stetig brauche, muss die Fortsetzung über

- 1

nach links hinaus bei

y = - 2

anfangen. Aber da ich keine andere Bedingungen habe, kann ich einfach konstante Funktion nehmen. Damit habe ich

y = - 2

links von

- 1

und

y = 2 x

zwischen

- 1

und

1

. Die Funktion bleibt stetig, weil sie in

- 1

stetig "zusammengeklebt" ist. Und sie bleibt oberhalb von

- 3

. Also alles gut.

Rechts von

0

muss ich die Funktion irgendwenn stoppen, denn bei

2

muss ich den Wert

3 \cdot 2 - 7 = - 1

bekommen, sonst wird es nicht stetig. Aber

2 x

geht nach oben, schon bei

1

habe ich den Wert

2

. Wenn ich weiter mit

2 x

gehe, bin ich bei

x = 2

zu weit oben. Deshalb stoppe ich bei

x = 1

und verbinde dann die Punkte

x = 1

und

x = 2

durch eine lineare Funktion, die im

1

gleich

2

ist und im

2

gleich

- 1

, damit es in beiden Punkten stetig ist. Das erreicht man mit

y = 5 - 3 x

.

So, es bleiben Punkte 4 und 5. Für 4 muss ich oberhalb von

- 3

bleiben, aber wegen 5 muss ich immer näher zu

- 3

kommen. Ich brauche also zuerst mal eine Funktion, die in

\infty

eine horisontale Asymptote hat. Davon gibt's einige, aber die einfachste ist

1 / x

.
Nun,

1 / x

geht gehen

0

, ich brauche aber gegen

- 3

. Also mache ich

- 3 + 1 / x

. Leider ist diese Funktion nicht

5

im Punkt

4

, was die Stetigkeit verletzt (

3 \cdot 4 - 7 = 5

).
Also nehme ich

- 3 + a / x

und wähle

a

so, dass ich

5

bei

x = 4

habe. Dann habe ich Stetigkeit, aber 4 und 5 sind auch erfüllt.

So, das war mein Gedankengang.

HAL9000

14:27 Uhr, 02.12.2020

Man könnte seinen Ehrgeiz noch daran setzen, das Intervall

(- \infty, 2)

nicht weiter zerstückeln zu wollen, und dort z.B. alternativ

f (x) = - 3 + \frac{4}{{(x - 1)}^{2} + 1}

zurechtbasteln. Aber das ist zum einen gar nicht so einfach zu finden, und selbst wenn man es gefunden hat auch noch aufwändiger in der Probe. :-)

DerUeberforderte aktiv_icon

15:01 Uhr, 02.12.2020

Wunderbar, jetzt habe ich es endlich verstanden.

Vielen Dank für eure schnelle Hilfe!

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