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Wachstumsrate bei exponentiellem Wachstum

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Tags: Funktion

mathemagier10 aktiv_icon

20:18 Uhr, 25.05.2018

Hallo Foristen,

Es geht um eine e-funktionsaufgabe wie sooft mit Bakterienwachstum.

Die Bakterien Anzahl verdoppelt sich alle zwanzig minuten.

gesucht ist die Wachstumskonstante

k

für die schritte

20

minuten und eine stunde.
und gesucht ist auch noch die anzahl nach

24 h

(wenn alle überleben).

mit

20 min = \frac{1}{3} h

geht die Verdopplungszeit aus der Aufgabenstellung hervor, diese eingesetzt in die
Formel für die Verdopplungszeit

T = \frac{ln 2}{k}

und umgeformt ergibt

k =

3ln2.

Soweit so gut das stimmt auch mit der Musterlösung überein
Auch die Lösung für die Anzahl nach

24 h

ist wie die aus der Musterlösung.

Meine Frage betrifft die Wachstumsrate

k

zum zeitpunkt

1 h

. nach Musterlösung sollte diese

k = ln 2

sein.

Die Funktion die diesen Wachstum beschreibt ist ja f(x)=f(0)*exp(k*t)
umgeformt nach

k

ergibt das

k = \frac{ln (f (t)) - ln (f (0))}{t}

für

t = \frac{1}{3}

stimmt das ergebnis mit der rechnung von oben überein. Aber Wenn ich für

t = 1

einsetze

erhalte ich nach folgender rechnung :

k =

ln(exp

(3 ln 2 \cdot 1) - \frac{ln (1)}{1}

das ergebnis

k =

3ln2 das ist das gleiche wie für

t = \frac{1}{3}

und das kann nicht sein die wachstumsrate ändert sich ja mit der zeit und da die kurve steiler wird sieht man dass die wachstumsrate zu nehmen muss.

muss man die kurve vielleicht ableiten und dann

t = 1

in die ableitung einsetzen?, dann würde aber auch 3ln2 *exp(3ln2) raus kommen und dass ist nicht was in der musterlösung steht.
das ergebnis sollte

k = ln 2

sein.

Hat der fehler vielleciht was mit

\frac{1}{3} h

und

1 h

zutun muss ich vielleciht doch

20 min

und

60 min

einstezen, dass dürfte doch egal sein.

achso vielleicht ein gedanke für ein ansatz:

k

für

t = \frac{1}{3}

ist ja

k = 3 ln 2

und für

t = 1

soll

k ln 2

sein.

d . h

. wenn die zeit sich verdreifacht soll

\frac{k}{3}

sein. dass kann ja auch nicht sein.

achso noch eins in der musterlösung stand nicht welches

k

für

t

20min und welches für

t = 1 h

ist.
und da ich für

t = \frac{1}{3}

k=3ln2 raushatte bin ich davon ausgegangen dass das richtig ist. Aber es könnte ja sein dass ich mich vertan habe und dass das ergebnis für

t = 1 h

sein soll,
dann würde das auch passen mit der linearität der wachstumskonstante dass nach der 3 fachen zeit

k = ln 2

auf das 3fache also k=3ln2 steigt.

In der Musterlösung sind aber schon öfter auch falsche ergebnisse gewesen.

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

anonymous

22:46 Uhr, 25.05.2018

Hallo mathemagier
Konstanten haben so ihre Eigenheit, konstant zu sein.
Deine Konstante lautet:

k = 3 \cdot ln (2) \cdot \frac{1}{h}

So lautet die

>

in der ersten Sekunde,

>

nach 2 Minuten,

>

nach

7.32

Stunden,

>

und auch noch nach

273

Jahren,
weil sie mathematisch gesehen eben konstant ist.

mathemagier10 aktiv_icon

05:11 Uhr, 26.05.2018

Hallöchen, Danke für deinen Tipp.

das stimmt schon sollte eigentlich eine konstante sein.

Aber : jede exponentialfunktion der form

b^{x}

lässt sich als exp(k*x) mit k=lnb schreiben,

d . h

. dass müsste auch umgekehrt gelten, dass jede funktion exp(k*x) als exponential funktion

b^{x}

geschrieben werden kann. Dann hat man plötzlich keine konstante mehr, wenn man nicht die eulersche zahl als basis hat.

Übrigens dass

b^{x}

exp(k*x) mit k=lnb ist kann man sehen mit der regel potenzen potenzieren.

Roman-22

13:05 Uhr, 26.05.2018

>

Dann hat man plötzlich keine konstante mehr,
Hat man doch!
Ihre Maßzahl ist eben 1 und ihre Dimension ist immer noch

Z e i t^{- 1}

.
Du kannst diese Funktionen mit jeder beliebigen Basis darstellen und bei einer dieser Basen wird deine Konstante eben den Wert 1 haben.

Wenn sich etwas alle drei Stunden verdoppelt, kannst du den Ansatz

N (t) = N_{0} \cdot 2^{\frac{t}{3 h}}

sofort hinschreiben.
Aber natürlich sind die Darstellungen

N (t) = {\sqrt[3]{2}}^{\frac{t}{h}} \approx {1,259921}^{\frac{t}{h}}

oder auch

N (t) = e^{\frac{ln 2}{3} \cdot \frac{t}{h}} \approx e^{\frac{0,231049}{h} \cdot t}

genau so richtig wie auch zB

N (t) = {\sqrt[20]{2}}^{\frac{t}{min}} \approx 1 . 035265^{\frac{t}{min}}

oder

N (t) = 4722366482869645213696^{\frac{t}{d}}

d

steht dabei für die Einheit "Tag".

mathemagier10 aktiv_icon

03:03 Uhr, 28.05.2018

Gib hier Deine Frage ein. Gib am besten Deine bisherigen Lösungsansätze an. Du kannst hier auch Formeln schreiben. Beispiel:

x^{2} + 2 x + \frac{1}{x} = 0

(DIESEN TEXT BITHallo Danke auch für diesen Tipp,

Ist soweit alles einleuchtend, auch dass die konstante dann irgendwann 1 wird, und dass die basis dann 2 ist wegen der rate verdopplung.

soweit hatte ich die ergebnisse fuer die wachstumsrate bei 20min also

\frac{1}{3} h

und die gesamtanzahl nach

24

stunden bereits richtig berechnet.

In der Aufgabenstellung ist ja, aber noch nach der Wachstumsrate im schritt

1 h

auch noch gefragt.

Und auch fuer die konstante nach 1ner stunde mit 2 verschiedenen rechenwegen das ergebnis herausbekommen, wie bei

20 min

. Das waere ja was in der 1.Antwort von 11gleich steht, dass die konstante immer gleich bleibt. Das wuerde auch der antwort von 11engleich entsprechen.(konstant).

Aber warum ist dann noch danach gefragt und in der musterloesung etwas angegeben.
Es ist ja auch logisch , dass je mehr bakterien es gibt umso mehr neue entstehen.
das taucht in der formel durch

n 0

auf, so dachte ich jedenfalls.
soll ich dann einfach die gleiche rechnung wie fuer die rate von

20 min

durchfuehren aber dann

n 0

aendern auf die anzahl die ich fuer

k

bei

20 min

kriege und fuer

t 1

einsetzen ?

also hier nochmal was in der musterloesung steht:

k = ln 2

k=3ln2

4,722 \cdot 10^{21}

und wie ich oben schon erwaehnte, die anzahl

4,7 ...

. hab ich auch raus und auch

k = ln 2

allerdings bei

t = \frac{1}{3} . .

.

welches

k

zu welchem

t

gehoert steht da nicht... wenns nach

t

geordnet waere, waere ja mein ergebnis auch falsch weil ich dass fuer

t = \frac{1}{3}

als ergebnis hatte.

Roman-22

03:48 Uhr, 28.05.2018

Ich weiß ja nicht was ihr als Wachstumsrate definiert habt, aber üblicherweise ist das der relative Zuwachs innerhalb einer Zeitspanne.
Wenn es also auf eine Stunde bezogen sein soll, dann ist in deiner Aufgabe die Wachstumsrate 7 pro Stunde oder

700 %

pro Stunde.
Der Wachstumsfaktor (den man, weil bei exponentiellem Vorgang konstant) auch Wachstumskonstante nennt ist 8 pro Stunde bzw.

800 %

pro Stunde.

\to

de.wikipedia.org/wiki/Wachstumsrate
Durch die Ableitung erhältst du die sog. spezifische Wachstumsrate. Diese ist in deinem Beispiel

3 \cdot ln (2) \cdot h^{- 1} \approx \frac{2,079}{h}

Alle diese Größen sind auf eine Zeitdauer bezogen und die ist auch Teil jeder dieser Konstanten. Sie haben also alle die Dimension 1/Zeit.

Ich fürchte, dass sich vielleicht bei euch eine andere, eigenartige Definition für Wachstumsrate eingeschlichen hat. Frage oder schlag also mal nach, welche krude Definition bei euch der Begriff "Wachstumsrate" hat.
Was genau soll also dieses ominöse

k

sein.
Ich hab schon erlebt, dass bei manchen Lehrern in der Schulmathematik partout jeder Wachstums- oder Zerfallsprozess idiotischerweise mit der Basis

e,

also in der Form

N (t) := N_{0} \cdot e^{k \cdot t}

dargestellt werden muss und dass der Faktor

k

dort allen Ernstes als Wachstums- oder Zerfallsrate bezeichnet wurde.

Außerdem gehen mir bei deinen ganzen Ausführungen durchgehend die Einheiten ab. Ohne die ist das ganze aber relativ sinnlos.
Beachte, dass

2^{\frac{3 t}{h}} = 8^{\frac{t}{h}}

genau das gleiche ist wie

2^{\frac{t}{20 m i n}}

oder wie

e^{\frac{2,079442}{h}}

oder wie

e^{\frac{0,034657}{min}}

pivot aktiv_icon

04:39 Uhr, 28.05.2018

@mathemagier10

"Meine Frage betrifft die Wachstumsrate k zum zeitpunkt 1h"

Gib mal bitte die wortwörtliche Aufgabenstellung an.

mathemagier10 aktiv_icon

01:49 Uhr, 31.05.2018

hi pivot

hier die aufgabe woertlich:

die zahl einer bestimmten bakteriensorte verdoppelt sich alle 20min.
gib die wachstumskonstante

k

fuer die zeitschritte

20 min

(eine stunde) an.
auf welche anzahl wuerde sich eine bakterie in

24

stunden vermehren, wenn alle nachkommen ueberlebten ?

das hab ich in den beitraegen oebn schonmal erwaehnt, dass ist auch vorgekommen, dass die musterloesung fehler enthielt.

Roman-22

02:13 Uhr, 31.05.2018

>

gib die wachstumskonstante

k

fuer die zeitschritte 20min (eine stunde) an.
na was nun?

20

Minuten oder 1 Stunden oder beides?

Nach meiner Definition, die sich mit jener von Tante Wiki deckt (Wachstumskonstante = Wachstumsfaktor) wäre das bei

20

Minuten

k = 2

und bei einer Stunden

k = 8

.
Ich ahne und befürchte allerdings, dass bei euch im Unterricht der Begriff "Wachstumskonstante" missbraucht und anders definiert wurde und damit die Konstante

k

gemeint ist, welche im Exponenten auftritt, wenn man den Vorgang (willkürlich und nicht besonders sinnvoll) als Exponentialfunktion mit der Basis

e

schreibt

\to N (t) := N_{0} \cdot e^{k \cdot t}

.
Mit dieser irreführenden Definition wäre für

20

Minuten

k = ln 2

und für 1 Stunde

k = ln 8 = 3 ln 2

anzugeben, bzw. mit korrekter Einheit

k = \frac{ln 2}{20 min} = \frac{ln 8}{1 h}

. Es ist ja natürlich die gleiche Konstante!

mathemagier10 aktiv_icon

18:52 Uhr, 05.06.2018

...dann würde das auch passen mit der linearität der wachstumskonstante dass nach der 3 fachen zeit

k = ln 2

auf das 3fache also k=3ln2 steigt...

ok im prinzip ist das also eifach dann

\cdot 3

gerechnet. Wenn dann nach der Wachstumskonstante pro Tag gefragt waere, muesste ich k=24ln2 angeben oder?

Danke fuer eure Antworten. Ich markiere die Frage als geloest.

mathemagier10 aktiv_icon

18:57 Uhr, 05.06.2018

ok, also war das so aehnlich wie ich meinte mit "dann würde das auch passen mit der linearität der wachstumskonstante dass nach der 3 fachen zeit

k = ln 2

auf das 3fache also k=3ln2 steigt"
Wenn ich das nun richtig Verstanden habe bleibt

k

gleich nur die einheit veraendert sich.
Also muss fuer

k

bei einer stunde

3 \cdot k

3 \cdot 20 min 1 h

entsprechen.

Wenn nach der konstante fuer 1 Tag gefragt waere muesste ich dann

k = 24 \cdot ln 2

angeben oder?
In der Loesung sind auch keine Einheiten angegeben nur die Betraege.

Danke euch allen fuer euere Antworten

mathemagier10 aktiv_icon

18:57 Uhr, 05.06.2018

ok, also war das so aehnlich wie ich meinte mit "dann würde das auch passen mit der linearität der wachstumskonstante dass nach der 3 fachen zeit

k = ln 2

auf das 3fache also k=3ln2 steigt"
Wenn ich das nun richtig Verstanden habe bleibt

k

gleich nur die einheit veraendert sich.
Also muss fuer

k

bei einer stunde

3 \cdot k

3 \cdot 20 min 1 h

entsprechen.

Wenn nach der konstante fuer 1 Tag gefragt waere muesste ich dann

k = 24 \cdot ln 2

angeben oder?
In der Loesung sind auch keine Einheiten angegeben nur die Betraege.
Danke euch allen fuer eure Antworten.

mathemagier10 aktiv_icon

19:08 Uhr, 05.06.2018

hallo,
also war das

k \cdot 3

rechnen weil

20 min \cdot 31 h

entsprechen und deswegen

ln 2 \cdot 3

?
Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, muesste wenn nach der Wachstumskonstante fuer 1Tag gefragt waere, die

k = 24 \cdot 3 \cdot ln 2

sein? ist das so richtig ?
In der Musterloesung waren keine einheiten angegeben.

Danke euch fuer eure Antworten.

mathemagier10 aktiv_icon

19:08 Uhr, 05.06.2018

Gib hier Deine Frage ein. Gib am besten Deine bisherigen Lösungsansätze an. Du kannst hier auch Formeln schrehallo,
also war das

k \cdot 3

rechnen weil

20 min \cdot 31 h

entsprechen und deswegen

ln 2 \cdot 3

?
Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, muesste wenn nach der Wachstumskonstante fuer 1Tag gefragt waere, die

k = 24 \cdot 3 \cdot ln 2

sein? ist das so richtig ?
In der Musterloesung waren keine einheiten angegeben.

Danke euch fuer eure Antworten.

mathemagier10 aktiv_icon

19:10 Uhr, 05.06.2018

ich markiere die frage jetzt auch als beantwortet.Dnake nochmal

mathemagier10 aktiv_icon

19:11 Uhr, 05.06.2018

Meine Frage waere damit beantwortet, doch wenn ich bei der antwort die frarge ist nun beantwortet als option waehle, kommt ein fehler

500

page cant currently... Wenn die admins manuell die frage als beantwortet markieren koennen bitte ich darum.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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