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Was ist ein Vektorraum der Polynome ?

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: basis, Mathematik, polynom, Raum, Vektor, Vektorraum

Zude93 aktiv_icon

17:42 Uhr, 24.01.2019

Guten Tag! Ich beschäftige mich gerade Uni technisch mit Lineare Algebra und habe ein paar Versätniss Probleme. Ich versuche mal zu erklären was mein Wissensstand ist und würde mich über einfache Worte als Antwort freuen!

Wir Haben einen Körper

K,

also eine Menge von Zahlen auf der Wir 2 Operationen definieren können. Die Rellen Zahlen sind solch ein Körper.
Ein

K

Vektorraum ist eine Menge aus Vektoren, die auch jeweils zwei Verknüpfende Operationen haben. Zb das Skalieren mit einem Skalar aus K.
Soweit so gut (hoffe ich).
Wenn wir jetzt einen Raum haben

R^{3}

zb, so hat jeder Vektor logischerweise 3 Kooridinaten um einen Vektor in

R^{3}

Bilden zu können. An dem Punk bin ich mir nicht ganz sicher, was genau das heißt. Ich habe immernoch einen Körper in

R

richtig ? Die tatsache, dass ich jetzt 3 Vektorkoordinaten habe, kommt vom Vektorraum richtig ? Unser Körper ist hier immernoch "nur" die Reelen Zahlen mit

+

und

\cdot

ja ?

Jetzt gibt es aber auch Vektorräume über die Menge der Polynome und das ist der Punkt wo mein Verstädnis aufhört.
Ich mach es mal konkret an einer Aufgabe.

U =

Lin

{

x^2,x^2+x,x^2+1......x^5} (Die Werte spielen keine Rolle)
Bestimme die Basis von

U

Ich habe auch die Lösung und verstehe sie, aber ich verstehe nicht was genau das bedeutet.
Lin ist ein Erzeugendensystem von U.

D . h

mit den Vektoren in so einem Erzeugendensystem kann ich die gesammten Raum

U

erzeugen. Die Basis ist das minimale Erzeugendensystem. Sowei verstehe ich das, gerade auf dem Bezug zu Vektoren.

Aber was für mich überhaupt nicht einleuchtet, ist die Tatsache, dass wir Polynome haben und keine Vektoren. In der Aufgabenlösung wandeln wir die Polynome in Vektoren der Form

{(0,0,1,0,0)}^{T}

um, mit einer 1 überall da, wo der jeweilige Exponent ist. Aber wieso haben wir jetzt hier Polynome und keine Vektoren ? Als für mich hat alles Sinn gemacht, als wir nur Vektoren hatten. Vektoren die auf einen Reelen Körper Operationen haben.
Aber jetzt haben wir Polynome und ich verstehe es nichtmal. Wie sieht der Körper aus ? Kann mir jemand dieses Ganze Thema so erklären als wenn ich 5 wäre ?
Mein Vorschlag wäre: Wir haben eine Menge

U

die aus Polynomen besteht. Auch diese Menge hat eine Basis, also Polynome die alle anderen Polynome erzeugen können richtig ? Um diese Basis zu finden, wandele ich die Polynome in Vektorren um um dann mit der Treppen Form die 0 Zeilen Streiche zu können, so das ich nur noch die Linear Unabhängigen Vektoren und damit die Basis habe. Ist das so richtig von der Erklärung ?
Also mir ist das Konzept von diesen Räumen und Abbildungen noch nicht ganz klar, ich glaube ich habe schon einen großen Teil verstanden, aber irgendwie hat es noch nicht komplett klick gemacht. Kann jemand das ganze Thema in einfachen Worten erklären ?
Lg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung
Parallelverschiebung
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

ledum aktiv_icon

19:59 Uhr, 24.01.2019

Hallo
was du nicht verstanden hast ist offensichtlich, was die Definition eines Vektorraums ist. der ist rein axiomatisch definiert, eine Menge von Objekten nennt man Vektoren, wenn die diesen Axiomen folgen.

z . B,

wenn man 2 der Objekte addiert, ist es wieder eines davon, wenn man einen mit einer Zahl aus dem zugehörigen Körper

K

multipliziert gehört er dazu.
jetzt hab ich

z . B

. Polynom, vom Grade

\leq 4,

wenn ich 2 davon addiere ist es wieder ein solches Polynom. wenn ich es mit einer Zahl aus dem Körper

K

aus dem die Koeffizienten kommen multipliziere ist es wieder ein Polynom, Also kann ich jetzt alle Sätze, die ich über Vektoren der Dimension 5 kenne auf Polynome vom Grad

\leq 4

anwenden.
Im Laufe der Zeit, wirst du noch mehr "Vektoren" kennenlernen, die im

ℝ^{3}

sind nur die ersten, die wir meist schon in der Schule kennenlernen.
in der Physik etwa hast du Geschwindigkeiten als Vektoren, Kräfte, Impulse.
immer kannst du alles anwenden, was du allgemein über Vektoren weisst.
Die Komponentenschreibweise von Vektoren ist eine Vereinbarung und praktisch, aber

(a, b, c) a, b, c \in K

ist nur eine Kurzschreibweise für einen Vektor, wenn ich die Basis

(e 1, e 2, e 3)

kenne, dann heisst

(a, b, c)

einfach

a \cdot e 1 + b \cdot e 2 + c \cdot e

ℝ^{3}

wird oft die Basis e1=Einheitsvektor in

x

Richtung, e2=Einheitsvektor in

y -

Richtung usw gewählt.
bei Polynomen oft

e 1 = 1 e 2 = x, e 3 = x^{2}

usw. man kann aber auch andere Basen verwenden, der Vektor in

ℝ^{3}

ist immer derselbe, seine Darstellung als Zahlentrippel aber eine andere.
Es hilft nichts, du musst dich daran gewöhnen, dass Vektorraum etwas sehr allgemeines ist, was durch die Vektorraumaxiome festgelegt wird, und du bisher noch nicht sehr viele Beispiele von seinen "Einwohnern" den Vektoren kennst.
Gruß ledum

Zude93 aktiv_icon

20:31 Uhr, 24.01.2019

Super Antwort ich danke dir! Ich muss bestimmt noch ein paar mal darüber nachdenken, aber ich glaube ich habe es verstanden:-) Danke!

Zude93 aktiv_icon

00:14 Uhr, 25.01.2019

Ich versuche es nochmal, ich hoffe ich habes es richig verstanden.

Ein Vektor ist eine Menge von Objekte. Diese Objekte können zb Kooridinaten, oder Polynome, Physikalisches Zeug etc sein.

Ein Körper ist eine Menge für die gewisse Axiome gelten müssen. Ein Beispiel sind die Reelen Zahlen.

Wenn ich ein Vektorraum habe ist das wieder eine Menge von Gewissen Objekten den Vektoren mit festgelegten Axiomen die gelten müssen. In dem Fall ist ein Vektor eine Menge von Rellen Zahlen, so das zb 3 von ihnen Kooridinaten Bilden. Wie haben also diese Objekte die Vektoren heißen und über einen Reelen Körper werden in diesen Mengen eben reele Zahlen gespeichert. Wieviele Zahlen pro Vektor / Objekt / Menge gespeichert werden ist eine wichtige Eigenschaft des Vektors und gibt seine Dimension an. So das nur Vektoren gleicher DImension einen Vektorraum bilden können.

Statt der Menge der Reelen Zahlen, kann ich mir auch einfach eine Menge der Polynome nehmen. Wenn diese den Axiomen folgen, sind diese deswegen auch ein Vektorraum. Nur das diesmal die Vektoren / Objekte keine einzelne Reele Zahlen haben, sonder komplexere Polynome. Vektoren sind nur der Bezeichner für diese einzelnen Objekte die in dem Fall Mengen von Polynomen sind.

Eine Basis sind in dem Fall die Vektoren / Polynome die den Vektorraum der Polynome erzeugen können.

Ich hoffe das ist bis hier hin halbwegs richtig.

Ich weiß einfach nicht wie ich mir die Polynome vorstellen kann. In meinem Mathegehirn ist halt immer dieses Koordinatensystem

R^{3}

. Wie kann ich mir die Polynome vorstellen. Ein Vektor im

R 3

besteht aus 3 Zahlen aus R. Ein Polynom ist eine Funktion in

R 2 (\in

meinem Gehirn). Ich glaube mein Problem ist, dass ich es halbwegs verstehe, aber es mir einfach nicht vorstellen kann...:(

Bummerang

12:25 Uhr, 25.01.2019

Hallo,

"Ein Vektor ist eine Menge von Objekte."

Falsch! Ein Vektor ist ein Objekt aus einem Vektorraum!

"Diese Objekte können zb Kooridinaten, oder Polynome, Physikalisches Zeug etc sein."

Hier mußt Du Dich einfach mal von Deinem schulischen Halbwissen verabschieden! Ausgangssituation:
Du hast einen Körper

(K, +, ⋆)

. Ein Körper besteht aus einer Objektmenge

K

und den beiden Operationen

+ : K \times K \to K

und

⋆ : K \times K \to K

. Diese beiden Operationen erfüllen gewisse Voraussetzungen, die in den Körper-Axiomen festgelegt sind.

Beispiele für Körper sind

ℝ, ℂ

und

ℤ_{p} (p

ist eine beliebige Primzahl)

Weiterhin hast Du eine Menge

V

von irgendwelchen Objekten. Für diese Objekte definierst Du eine Operation

\oplus : V \times V \to V

. Und Du definierst eine Operation

⊙ : K \times V \to V

. Wenn jetzt diese beiden Operationen die in den Vektorraum-Axiomen vorgegebenen Bedingungen erfüllen, dann nennt man

(V, \oplus, ⊙)

einen K-Vektorraum.

Du siehst, da ist nichts mit

ℝ!

Eine Menge von Polynomen mit maximalem Grad

n, z . B

n = 2,

könnte eine solche Menge sein. Diese Polynome sind dann in der Art

a \cdot x^{2} + b \cdot x + c,

wobei

a, b, c

irgendwelche Koeffizienten der Monome

x^{2}, x^{1}

und

x^{0}

sind, wobei man abkürzend für

x^{1}

nur

x

und für

x^{0}

nur 1 schreibt, und die 1 bei reellen Koeffizienten bei der Multiplikation weggelassen werden kann. Zunächst legen wir die Koeffizienten als reelle Zahlen in unserem Beispiel fest. Jetzt definieren wir uns eine Addition von solchen Polynomen wie folgt:

(a_{1} \cdot x^{2} + b_{1} \cdot x + c_{1}) \oplus (a_{2} \cdot x^{2} + b_{2} \cdot x + c_{2})

= (a_{1} + a_{2}) \cdot x^{2} + (b_{1} + b_{2}) \cdot x + (c_{1} + c_{2})

Und die Multiplikation mit einer reellen Zahl (wodurch klar wird, dass unser

K

jetzt hier

ℝ

ist):

k ⊙ (a \cdot x^{2} + b \cdot x + c) = (k \cdot a) \cdot x^{2} + (k \cdot b) \cdot x + (k \cdot c)

Jetzt hatt man mit den Polynomen über

x,

deren Grad maximal 2 ist und den reellen Zahlen und

\oplus

und

⊙

einen Vektorraum mit dem Körper

ℝ

geschaffen, denn alle Axiome sind erfüllt. Prüfe bitte selber einfach nach.

Eine mögliche Basis dieses Vektorraumes ist

{x^{2}, x, 1},

denn aus diesen drei Vektoren kannst Du mit

ℝ

ALLE Polynome maximal 2-ten Grades linear kombinoeren.

Und zum Abschluß für Dich ein kleines Schmankerl: Ein Vektorraum

V

mit einer Endlichen Basis

B

ist isomorph zu

ℝ^{n},

wenn

n

die Dimension des Vektorraumes ist. Mit anderen Worten, der Raum der Polynome maximal 2-ten Grades ist isomorph zu

ℝ^{3}

. Jetzt musst Du einfach nur die Polynome auf den

R^{3}

abbilden:

I:V->RR^3 gemäß

(a \cdot x^{2} + b \cdot x + c) \to (\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix})

Zude93 aktiv_icon

12:39 Uhr, 25.01.2019

Danke für die Antwort! Ich glaube ich habe es verstanden. Ich glaube das Problem ist, das mein Gehirn auch bei anderen Objekten immernoch ein

R 3

Koordinatensystem im Kopf hat. Ich versuche mir zb das mit dem Polynomen Bildlich vorzustellen, aber ich denke das ist einfach das Problem. Mathematisch verstehe ich auf jedenfall was du sagst. Ich will noch einmal auf Vektoren zurück kommen und überprüfen ob ich das jetzt richtigverstanden haben. Vektoren sind in diesem Kontext einfach Objekte in einem Vektorraum die genau die Axiome erfüllen. Das manche Vektoren zb Koordinaten haben manche zb Polynome sind spielt dabei erstmal keine Rolle. Auch ob ich sie in Vektorrschreibweise hinschreibe oder wie ein Polynom ist auch egal. Ich kann mir theoretisch auch etwas ausdenken. Wichtig ist nur, dass in meiner Definition von diesen Objekten die Axiome des Vektorraums erfüllt werden. Kann man das so sagen ? Wenn ein einen normalen

R 3

Vektor habe, kann ich disen ja recht einfacha ls Graph darstellen. Ist das bei Polynomen zb auch möglich ? Oder ist das einfach nichtmöglich, weil ich hier nicht in

R 3

mehr bin, sondern nur eine Menge von Polynomen habe und einen Körper ? Oder gibt es auch eine Möglichkeit nicht triviale Vektoren sich graphisch vorzustellen ?

Bummerang

15:07 Uhr, 25.01.2019

Hallo,

ganz heißer Tipp: Löse Dich davon, Dir etwas vorzustellen! Das einzige, was Du über irgendein Objekt wissen mußt, sind die Eigenschaften bzw. wie das Objekt mit anderen Objekten zusammenspielt! Ich

z . B

. schwöre Dir, in meinem ganzen Leben noch nie eone Eins gesehen zu haben. Ich wette auch, dass Du nie eine Eins gesehen hast! Ich gehe so weit, dass ich behaupte, dass noch nie jemand eine Eins gesehen hat. Ich kenne viele Möglichkeiten, wenn ich was berechnen muß, darzustellen, dass ich an dieser Stelle eine Eins benutze (unsere arabische Form, die altrömische Form, einfach ein Strich,

...)

aber das sind ja nur "Platzhalter" für eine Eins und nicht die Eins selbst! Was ich aber kenne, das sind die Rechenregeln, die Gesetze, die Art, wie ich an dieser Stelle mit einer Eins umgehrn muß!

Und wenn Du schon irgendwie an Deiner Vorstellung kleben bleiben willst, warum nutzt Du nicht für die Darstellung eines Polynoms den von mir extra für Dich angegebenen Isomorphismus? Bilde die Pilynome auf

ℝ^{3}

ab, und stelle das dar! Was Du siehst dann keine Polynome? Richtig! Polynome kann man genausowenig sehen wie die Eins!

ermanus aktiv_icon

15:11 Uhr, 25.01.2019

Superschön erklärt :-)
Gruß ermanus

Zude93 aktiv_icon

15:29 Uhr, 25.01.2019

Danke für die Antwort :-) Wegen den Isomorphismus, habe ich gemacht und auch verstanden, meine Ursprungsaufgabe habe ich ja fast genauso gelöst :-)
Ja mir fällt es ehrlich gesagt schwer mit dem Vorstellen aufzuhören. Es gibt ja zb diesen Youtube Channel 1blue3brown oder seiten wie brilliant.org die auch sehr schwere Mathematische Konzepte graphisch darstellen bzw eine Intuition geben, wie man sich das vorstellen kann. Was jeder in seinem Gehirn beim Rechnen "sieht" ist ja unterschiedlich. Ich finde diesen scheinbar modernen Ansatz Mathe zu erklären extrem gut und lerne damit viel besser als zb sich Beweise anzuschauen.
Mir ist bewusst das vieles davon nur intuitionen sind, aber sie wirken so passend. Beispielweise kann man sich eine Zahl als eine Anzal von etwas vorstellen (im eigenen Gehirn) ODER als verschiebungen. Wie gesagt es geht um die interne Darstellung im gehirn nicht darum was mathematisch korrekt ist.

Auf jedenfall ist meine Frage jetzt beantwortet:-) Danke für die tollen kommentare

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