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Widerspruch im Induktionsschluss einer Induktion

Universität / Fachhochschule

Tags: Beweis, Induktion, vollständig, Vollständig Induktion, Widerspruch?

Mihawk aktiv_icon

00:47 Uhr, 26.10.2013

Hallo zusammen,

ich habe bei einem Beweis durch vollständige Induktion das Problem, dass ich die Gleichung nicht lösen kann, bzw. ein Widerspruch herauskommt.

Aufgabe:

(n

k = 0) {(1 + q)}^{2^{k}} = \frac{1 - q^{2^{n + 1}}}{1 - q}

für

q < > 1

Π= Produktzeichen mit

k = 0

als Anfang und

n

als Ende

In meinem Ansatz stimmt der Induktionsanfang, mit

n = 0

. Daher lass ich diesen hier aus.

für

n + 1

folgt:

(n + 1

k = 0) {(1 + q)}^{2^{k}} = \frac{1 - q^{2^{(n + 1) + 1}}}{1 - q} = \frac{1 - q^{2^{(n + 2)}}}{1 - q}

= \frac{1 - q^{2^{n + 1}}}{1 - q} \cdot (1 + q^{2^{n} + 1})

= \frac{(1 - q^{2^{n + 1}}) \cdot (1 + q^{2^{n} + 1})}{1 - q}

nach 3. Binomischer Formel folgt

\frac{1^{2} - q^{2^{2 (n + 1)}}}{1 - q} = \frac{1^{2} - q^{2^{2 n + 2}}}{1 - q}

genau hier müsste ja jetzt aber eig. stehen

\frac{1 - q^{2^{(n + 2)}}}{1 - q}

.

Habe ich irgendwo ein

n

hinzugedichtet?

Ich wäre euch sehr dankbar, wenn jmd helfen könnte. Wir haben die Aufgabe jzt schon zu zweit nachgerechnet, aber kommen beide auf das gleich Ergebnis, bei dem die Induktion nicht auf geht.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Sams83 aktiv_icon

07:14 Uhr, 26.10.2013

Hallo,

also ich bekomme laut Deiner aufgeschriebenen Formel noch nicht mal den Induktionsanfang hin... meinst Du es so wie es da steht?

\prod_{k = 0}^{n} {(1 - q)}^{2^{k}} = \frac{1 + q^{2^{n + 1}}}{1 - q}

Dann erhalte ich für

n = 0 :

{(1 - q)}^{2^{0}} = \frac{1 + q^{2^{0 + 1}}}{1 - q}

1 - q = \frac{1 + q^{2}}{1 - q}

Ist bei mir nicht gleich.... BItte also nochmal angegebene Formel überprüfen...

Hinweis:

a^{m^{n}} \neq {(a^{m})}^{n}

Mihawk aktiv_icon

09:57 Uhr, 26.10.2013

Ich habe im Induktionsanfang so weiter gerechnet, dass

\frac{1 - q^{2}}{q - 1}

nach dritter Binomischer Formel

= \frac{(1 + q) \cdot (1 - q)}{1 - q}

ist.

das lässt sich ja zu

(1 + q)

kürzen, wonach der Induktionsanfang stimmt, wenn ich mich nicht hier jetzt gerade schon vertan habe.

Lasterwagen aktiv_icon

10:28 Uhr, 26.10.2013

Nicht gerade die feine Art, oben etwas zu ändern (und zwar etwas Grundlegendes, nämlich die zu beweisende Formel), ohne das unten mitzuteilen. Ich habe gerade

10

Minuten gesucht, woran es liegt, dass ich eben noch mit Sams übereinstimmte und mich jetzt wundere wie er/sie auf

+

statt - kommt.

Ich hätte dir gerne geholfen, aber meine Zeit, die ich dafür bereit war zu opfern ist leider dafür draufgegangen. Selbst schuld.

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