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Wie beweise ich die Bernoulli Ungleichung?

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Differantialrechnung, Funktion, Stetigkeit

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21:07 Uhr, 24.01.2021

Hallo,
Ich komme leider bei der folgenden Aufgabe nicht weiter.
Ich habe zwei Funktionen

i

und

j

gegeben, die beide auf einem Intervall

[a, b]

stetig sind und auf

(a, b)

differenzierbar mit

i (a) \geq j (a)

und

i' \geq j'

auf

(a, b)

. Ich soll zeigen, dass dann

i \geq j

auf

[a, b]

ist.

Mit dieser Erkenntnis sollt ich dann die Bernoulische Ungleichung für reelle Exponenten zeigen.

Meine Versuche gingen über den Mittelwertsatz, aber am Ende kam nicht das raus, was ich wollte.
Kann mir jemand einen Tipp hierfür geben?

Beim unteren Teil habe ich

x \geq 0

betrachtet und mit dem Mittelwertsatz gearbeitet.
Funktion

k : [0, x] - \to

, x - \to {(1 + x)}^{a}

definiert und dann mit dem Mittelwertsatz. Ich erhielt:

{(1 + x)}^{a} - 1 = x \cdot a {(1 + x)}^{a - 1}

und damit

{(1 + x)}^{a} - 1 \geq a \cdot x

Ist das richtig so?
Beim Fall

- 1 \leq x \leq 0

komme ich leider nicht weiter. Wieder Mittelwertsatz?

Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

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21:12 Uhr, 24.01.2021

Das ist zu kompliziert.
Es gilt

(i - j)^{ʹ} (x) \geq 0

für alle

x

, also ist

i - j

monoton (nicht unbedingt streng) steigend und aus

(i - j) (a) \geq 0

folgt also

(i - j) (x) \geq 0

.

Wenn diese Monotonie-Eigenschaft wider Erwarten unbekannt sein soll, hier der Beweis, der tatsächlich über den Mittelwertsatz geht:
de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Monotoniekriterium:_Zusammenhang_zwischen_Monotonie_und_Ableitung_einer_Funktion

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21:22 Uhr, 24.01.2021

Okay, danke Ihnen. Wie sieht es mit meiner unteren Frage aus. Stimmt der Ansatz mit

x \geq 0

und anschließend mit dem Anwenden des Mittelwertsatzes?

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21:41 Uhr, 24.01.2021

Unterer Teil wovon ist gemeint? Hast du versucht, ein Bild anzuhängen?

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21:46 Uhr, 24.01.2021

Es ging um den Beweis, der Bernoullischen Ungleichung für reelle Exponenten. Die obere Aufgabe mit der Monotonie, sollte mir wohl dabei eine Hilfe sein. Wäre es eine natürliche Zahl, wäre ich schon mit Induktion fertig gewesen. Ein Bild kann ich nicht anhängen. Die Aufgaben sind bestimmt Urheberrechtlich geschützt.

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22:06 Uhr, 24.01.2021

"Die Aufgaben sind bestimmt Urheberrechtlich geschützt."

Das glaube ich nicht. Wäre ganz was Neues. Auf jeden Fall posten hier die meisten Studenten Aufgaben und es ist nichts passiert. Und ein Dozent fragt auch nicht nach dem Erlaubnis, irgendeine Aufgabe aus irgendeinem Buch zu nehmen. Wie soll das überhaupt gehen?

Also, du meinst diese Ungleichung:

(1 + x)^{a} \geq 1 + a x

für

a \geq 1

?
Dann kuck hier: planetmath.org/proofofbernoullisinequalityemployingthemeanvaluetheorem

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22:10 Uhr, 24.01.2021

Ja, genau diese Ungleichung meinte ich. Ich kann aber schlecht Methoden der Mehrdimensionalen Analysis anwenden. Ich würde dafür null Punkte bekommen. Könnte ich die Aufgabe über eine Kurvendiskussion lösen?

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22:22 Uhr, 24.01.2021

In dem Link ist es kein mehrdimensionaler Analysis. Die Lösung ist nur etwas blöd aufgeschrieben.

Die Sache ist die:

f (x) = (1 + x)^{a} - (1 + a x)

hat positive Ableitung bei

x > 0

und negative Ableitung bei

x < 0

, das ist elementar zu zeigen (unter Voraussetzung, dass

a \geq 1

). Die Ableitung ist

a (1 + x)^{a - 1} - a

.

Sei jetzt

x

beliebig aus

(- 1, 0)

.
Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein

c

zwischen

x

und

0

, so dass

f (x) - f (0) = (x - 0) \cdot f^{ʹ} (c) = x \cdot f^{ʹ} (c)

. Da

c < 0

, haben

f^{ʹ} (c) < 0

und deshalb

x f^{ʹ} (c) > 0

. Also,

f (x) - f (0) > 0

f (x) > f (0) = 0

, was auch zu beweisen war.

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22:28 Uhr, 24.01.2021

Danke! Aber stimmt meine Lösung für

x \geq 0

mit dem Mittelwertsatz?

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22:33 Uhr, 24.01.2021

Nun, die Gleichung

(1 + x)^{a} - 1 = x \cdot a (1 + x)^{a - 1}

stimmt nicht.
Aber man kann es genauso machen für

x > 0

wie ich das für

x < 0

gemacht habe.

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22:40 Uhr, 24.01.2021

Können Sie mir auch sagen, warum diese (Un)-Gleichung nicht stimmt?
Ich habe mir ein Funktion auf einem Intervall mit

[0, x]

definiert und dann mit der Ableitung erhielt ich:

a \cdot {(1 + x)}^{a - 1} = \frac{{(1 + x)}^{a} - 1}{x}

Wo liegt der Fehler? Könnte ich vielleicht mit dem Verallgemeinerten MWS die Aufgabe lösen?

DrBoogie aktiv_icon

22:50 Uhr, 24.01.2021

Links muss nicht

x

stehen, sondern ein Punkt zwischen

x

und

0

. Ein

c

oder

ξ

oder was auch immer.
In dieser Form ist es halt falsch, das kann man sehen, wenn man dort

x = 1

einsetzt.

Mittelwertsatz ist

f^{ʹ} (c) (b - a) = f (b) - f (a)

mit einem

c

aus

(a, b)

. Also

c

ist nicht

a

und nicht

b

BaumOrange aktiv_icon

22:53 Uhr, 24.01.2021

Mein Fehler. Das stimmt natürlich. Ich bin wohl zu müde. Gut, ich probiere dann ein bisschen rum, sonst nehme ich ihren Lösungsvorschlag. Danke Ihnen und gute Nacht!

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