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Wie klammert man die höchsten Potenzen aus?

Schüler Gymnasium,

Tags: Ausklammern, Höchsten Potenzen, Potenz

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16:14 Uhr, 14.11.2023

Kann mir jemand beim ausklammern der höchsten Potenzen bei folgender Aufgabe helfen:

x^2y^3+xy^2-x^3y

Ich habe bereits meine Lehrerin gefragt, aber ich konnte jedoch weder ihren Rechenweg noch ihr Ergebnis verstehen.
Daher würde ich es super finden wenn mir das nochmal jemand hier erklären könnte.
Vielen Dank.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Potenzen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Gemischte Aufgaben
Lösen durch Faktorisieren (Ausklammern)
Nullstellen bestimmen
Rechnen mit Klammern

Roman-22

16:23 Uhr, 14.11.2023

Kommt darauf an, was du mit Ausklammern der "höchsten" Potenzen meinst.

Wörtlich genommen könnte man darunter

x^{2} y^{3} + x y^{2} - x^{3} y = x^{3} y^{3} \cdot (x^{- 1} + x^{- 2} y^{- 1} - y^{- 2})

verstehen, aber du meinst vermutlich

x^{2} y^{3} + x y^{2} - x^{3} y = x y \cdot (... + ... - ...)

Wie sieht denn dein Versuch dazu aus

. .

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16:35 Uhr, 14.11.2023

„Klammere die höchsten Potenzen aus“ ist die Aufgabenstellung, daher weiß ich selbst nicht so ganz wie das gemeint ist.
Ich habe die Lösung meiner Lehrerin aufgeschrieben (aber ich verstehe nicht wie sie dort hin kommt zu diesem Rechenweg):

1)

x^3:x^2y^3+xy^2-x^3y

= x^{3} (x^{- 1} y^{3} + x^{- 2} y^{2} - y)

2)y^3:x^2y^3+xy^2-x^3y = y^3(x^2+xy^(-1)-x^3y^(-2))

3)x^3y^3:x^2y^3+xy^2-x^3y

= x^{3} y^{3} (x^{- 1} + x^{- 2} y^{- 1} - y^{- 2})

Hinweis: (da steckt eine Division dahinter)
= x3((x^2y^3)/(x^3)+(xy^2)/(x^3)-(x^3)/(x^3))

Mehr Informationen habe ich nicht erhalten und leider verstehe ich das nicht

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16:35 Uhr, 14.11.2023

1)

x^3:x^2y^3+xy^2-x^3y

= x^{3} (x^{- 1} y^{3} + x^{- 2} y^{2} - y)

2)y^3:x^2y^3+xy^2-x^3y = y^3(x^2+xy^(-1)-x^3y^(-2))

3)x^3y^3:x^2y^3+xy^2-x^3y

= x^{3} y^{3} (x^{- 1} + x^{- 2} y^{- 1} - y^{- 2})

Hinweis: (da steckt eine Division dahinter)
= x3((x^2y^3)/(x^3)+(xy^2)/(x^3)-(x^3)/(x^3))

Mehr Informationen habe ich nicht erhalten und leider verstehe ich das nicht

Roman-22

16:50 Uhr, 14.11.2023

Aha, dann ist also entgegen meiner Annahme doch tatsächlich gemeint, dass jeweils die höchste auftretende Potenz von

x

und von

y

ausgeklammert werden soll.
Ich hatte vermutet, dass die größte 'gemeinsame' Potenz gemeint sein könnte.

Dass die höchste auftretende Potenz von

x

die

x^{3}

ist, sollte noch klar sein, oder.

Ausklammern bedeutet, wie es wohl der Hinweis auch besagen möchte, dass man den Term, der in der Klammer übrig bleibt, dadurch erhält, dass man den ursprünglichen Term durch den Ausdruck, den man ausklammert, dividiert.
Also zB

16 x + 12 y = 8 \cdot (\frac{16 x + 12 y}{8}) = 8 \cdot (\frac{16 x}{8} + \frac{12 y}{8}) = 8 \cdot (2 x + \frac{3}{2} y)

Bei diesem Beispielausdruck ist es wohl nicht sonderlich sinnvoll 8 auszuklammern (man würde eher nur 4 nehmen), aber das Beispiel soll zeigen, dass man Beliebiges ausklammern kann, man muss nur in der Klammer durch Division entsprechend kompensieren. Man kann auch aus

x + y

ein

z

ausklammern und kommt auf

z \cdot (\frac{x}{z} + \frac{y}{z}) -

obs Sinn macht ist eine andere Frage.

Du sollst bei dem Term

x^{2} y^{3} + x y^{2} - x^{3} y

also die jeweils höchsten auftretenden Potenzen von

x

und

y,

also

x^{3}

und

y^{3}

ausklammern.

Das Muster deiner Lehrerin geht dazu schrittweise vor und klammert zunächst nur

x^{3}

aus. In der Klammer bleibt dann das übrig, was man erhält, wenn man den Ausgangsterm durch

x^{3}

teilt:

x^{2} y^{3} + x y^{2} - x^{3} y = x^{3} \cdot (\frac{x^{2} y^{3}}{x^{3}} + \frac{x y^{2}}{x^{3}} - \frac{x^{3} y}{x^{3}}) = x^{3} \cdot (x^{- 1} y^{3} + x^{- 2} y^{2} - y)

Genau so dann im nächsten Schritt mit

y^{3}

.
Natürlich kann man die beiden Schritte bei entsprechender Sicherheit auch gemeinsam in einem machen und man muss diese Division auch nicht unbedingt explizit anschreiben.
Doch wenn es hilft und man sich dabei sicherer fühlt, spricht nichts dagegen, es zu tun.

Und wenn du unsicher bist, was dein Ergebnis anlangt, so kannst du immer (im Kopf) die Probe machen, also den ausgeklammerten Term wieder in die Klammer reinmultiplizieren (Distributivgesetz) und kontrollieren, ob da wirklich wieder der Ausgangsterm rauskommt.
In obigem Fall also

x^{3} \cdot (x^{- 1} y^{3} + x^{- 2} y^{2} - y) = = x^{3} \cdot x^{- 1} y^{3} + x^{3} \cdot x^{- 2} y^{2} - x^{3} \cdot y = x^{2} y^{3} + x y^{2} - x^{3} y . .

. passt!

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17:03 Uhr, 14.11.2023

Jetzt hab ich es verstanden.
Vielen Dank für die ausführliche Erklärung.
Hat mir echt weitergeholfen!

KL700 aktiv_icon

17:32 Uhr, 14.11.2023

Die Aufgabe ist untypisch.
Ausklammern bedeutet gewöhnlich "maximal ausklammern" = die jeweils gemeinsamen
höchsten Potenzen.
Doch hier ist anders formuliert, man muss es wörtlich nehmen.

x^{3}

und

y^{3}

sind daher die höchsten Potenzen, auch wenn sie nicht in jedem Term gemeinsam vorkommen.

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