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Wieviele Nullstellen bei Polynom 3. Grades?

Schüler

Tags: ganzrational, Nullstell, polynom, Vielfachheit

mcadam aktiv_icon

09:48 Uhr, 25.03.2019

Hallo zusammen!
Ich hänge wieder an einer für mich unverständlichen Aufgabe...

: (

Für welche Werte von a hat der Graph der Funktion g(x)=x^3-3x^2-ax
- nur eine einfache
- eine einfache und eine doppelte
- drei einfache Nullstellen?

Was ich weiß:
1-fache Nullstelle = Schnittstelle mit x-Achse
2-fache Nullstelle = Berührstelle mit x-Achse
(3-fache Nullstelle = Sattelpunkt)

Wenn ich richtig liege, dann müsste man jetzt die Funktion ableiten?
Ich komme dann auf:

g' (x) = 3 \cdot x^{2} - 3 \cdot 2 \cdot x - a = 3 x^{2} - 6 x - a

Ist das korrekt?

Aber wie geht es weiter? Was kann ich mit dieser Ableitung anfangen?
Und wie komme ich damit zur Antwort auf die ursprpüngliche Frage?

Kann mir bitte jemand auf die Sprünge helfen? Wir schreiben in 2 Tagen eine Arbeit...

: (

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

Respon

10:32 Uhr, 25.03.2019

x^{3} - 3 \cdot x^{2} - a \cdot x = x \cdot (x^{2} - 3 \cdot x - a)

x = 0

ist - unabhängig von

a -

immer eine Nullstelle

x^{2} - 3 \cdot x - a = 0 \Rightarrow x_{2,3} = \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} + a}

Untersuche nun und interpretiere

\frac{9}{4} + a > 0

\frac{9}{4} + a = 0

\frac{9}{4} + a < 0

und

a = 0

mcadam aktiv_icon

13:34 Uhr, 25.03.2019

Danke Respon!

Untersuche nun und interpretiere

\frac{9}{4} + a > 0 \to 3

einfache Nullstellen

\frac{9}{4} + a = 0 \to

eine einfache und eine zweifache Nullstelle

\frac{9}{4} + a < 0 \to

eine Nullstelle (Wurzel aus negativ...?)
und

a = 0 \to

eine einfache und eine zweifache Nullstelle

\to

aber warum?

Hat das mit dem Begriff "Diskriminante" zu tun? Und was ist dann die Diskriminante?
a? oder

\frac{9}{4} + a

?

Und wie bitte kommt

\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} + a}

zustande? Mitternachtsformel? Das wäre dann

3 \pm \frac{\sqrt{9 - 4 a}}{2}

? Das ist aber nicht das gleiche - oder habe ich wieder nicht aufgepasst?

Respon

15:06 Uhr, 25.03.2019

Du hast - unabhängig von

a -

immer eine Nullstelle bei

x = 0

\frac{9}{4} + a > 0 \Rightarrow a > - \frac{9}{4}

zusätzlich zwei verschiedene Nullstellen

\neq 0

\frac{9}{4} + a = 0 \Rightarrow a = - \frac{9}{4}

zusätzlich eine Doppelnullstelle

\neq 0

\frac{9}{4} + a < 0 \Rightarrow

keine zusätzlichen reellen Nullstellen.

a = 0

\Rightarrow

x^{3} - 3 \cdot x^{2} = 0

x^{2} (x - 3) = 0

\Rightarrow

Doppelnullstelle bei

x = 0

und einfache Nullstelle bei

x = 3

HAL9000

15:22 Uhr, 25.03.2019

Warum man

a = 0

extra untersuchen muss, fällt hier ein wenig vom Himmel. Ich würde die Begründung dafür konsequenterweise in die ja vorher vorgenommene vollständige Fallunterscheidung hinsichtlich der Diskriminante eintakten:

Der erste Fall

\frac{9}{4} + a > 0

bedeutet ja erstmal nur, dass der quadratische Term zwei unterschiedliche reelle Nullstellen liefert. Die Frage ist anschließend, ob eine dieser Nullstellen mit der bereits bekannten Nullstelle

x = 0

zusammenfällt - dass letzteres nun für

a = 0

(dann und nur dann) passiert, mag ein erfahrerener Kämpe sofort erkennen, ein Newbie vielleicht nicht unbedingt so schnell.

Atlantik aktiv_icon

15:32 Uhr, 25.03.2019

"Und was ist dann die Diskriminante?
a ? oder

\frac{9}{4} + a

"?

Der Term unter der Wurzel ist die Diskriminante.

"Und wie bitte kommt

\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} + a}

zustande?"

x^{2} - 3 x - a = 0

x^{2} - 3 x = a | + q . E . {(\frac{- 3}{2})}^{2}

x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = a + \frac{9}{4}

{(x - \frac{3}{2})}^{2} = a + \frac{9}{4}

x_{1,2} = \frac{3}{2} \pm \sqrt{a + \frac{9}{4}}

mfG

Atlantik

Respon

15:35 Uhr, 25.03.2019

"Und was ist dann die Diskriminante?"
Je nach verwendeter Formel

\frac{9}{4} + a

oder

9 + 4 \cdot a

. Ändert aber nichts am Ergebnis.
Deine Überlegungen waren an sich korrekt.

mcadam aktiv_icon

16:04 Uhr, 25.03.2019

Vielen herzlichen Dank, an all die lieben Helferlein. Wenn ich das so lese, dann ist das alles schlüssig. Aber wie bitte soll ich das selbst alles erkennen und ableiten können…? Ist das für elfte Klasse normal? Ich bin so verzweifelt!
Aber euch noch mal Dank, ohne derartige selbstlose Hilfe wäre ich definitiv geliefert.

Joshua2 aktiv_icon

17:52 Uhr, 25.03.2019

x^{3} - 3 x^{2} -

= 0

\Leftrightarrow x (x^{2} - 3 x - a) = 0

\Leftrightarrow x = 0

und

(x^{2} - 3 x = a

\Leftrightarrow x = 0

und

{(x - \frac{3}{2})}^{2} = a + {(\frac{3}{2})}^{2}

\Leftrightarrow x = 0

und

x - \frac{3}{2} =

Wurzel aus

(a + {(\frac{3}{2})}^{2})

\Leftrightarrow x = 0

und keine Lösung für

a < - {(\frac{3}{2})}^{2};

eine Lösung für

a = - {(\frac{3}{2})}^{2}

und zwei Lösungen für

a > - {(\frac{3}{2})}^{2}

Joshua2 aktiv_icon

17:52 Uhr, 25.03.2019

x^{3} - 3 x^{2} -

= 0

\Leftrightarrow x (x^{2} - 3 x - a) = 0

\Leftrightarrow x = 0

und

(x^{2} - 3 x = a

\Leftrightarrow x = 0

und

{(x - \frac{3}{2})}^{2} = a + {(\frac{3}{2})}^{2}

\Leftrightarrow x = 0

und

x - \frac{3}{2} =

Wurzel aus

(a + {(\frac{3}{2})}^{2})

\Leftrightarrow x = 0

und zusätzlich keine Lösung für

a < - {(\frac{3}{2})}^{2};

zusätzlich eine Lösung für

a = - {(\frac{3}{2})}^{2}

und zusätzlich zwei Lösungen für

a > - {(\frac{3}{2})}^{2}

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